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Lexikon der Mathematik: diophantische Approximation

die Approximation einer oder mehrerer reeller Zahlen durch rationale Zahlen.

Ein einfaches Beispiel: Gegeben sei eine irrationale Zahl α, man bestimme alle Lösungen (p, q) der Ungleichung

\begin{eqnarray}|q\alpha -p|\lt \displaystyle \frac{1}{q},\end{eqnarray}

oder allgemeiner, einer Ungleichung

\begin{eqnarray}|\alpha -\frac{p}{q}|\lt \frac{1}{{q}^{2}},\end{eqnarray}

kann also als rationale Approximation an die irrationale Zahl α gelten; die Existenz einer solchen Approximation garantiert der Dirichletsche Approximationssatz; eine Folge von Lösungen erhält man durch den Kettenbruchalgorithmus.

Besonders interessant werden Fragen der diophantischen Approximation, wenn man für α eine klassische Zahl einsetzt, etwa α = π oder α = e.

Man untersucht auch Systeme von Ungleichungen vom Typ (1) oder (2), um z. B. die simultane Approximation mehrerer reeller Zahlen durch Brüche mit einer oberen Schranke für die Nenner zu studieren. Neben Fragen über die Existenz von Lösungen einer oder mehrerer diophantischer Ungleichungen gehören zur diophantischen Approximation auch Fragen über die Verteilung der Lösungen, was vielfach zu einem interessanten Zusammenspiel zwischen Zahlentheorie und reeller Analysis führt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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