Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: direktes Produkt von Ordnungen

Operation auf Ordnungen.

Es seien (Pi, ≤ Pi), i = 1, …, n, n ∈ ℕ Ordnungen. Das direkte Produkt \(\displaystyle {\prod }_{i=1}^{n}({P}_{i},{\le }_{{P}_{i}})\) ist die Ordnung \(({\displaystyle {\prod }_{i=1}^{n}{P}_{i},\le }\,_{\displaystyle {\prod }_{i=1}^{n}{P}_{i}})\), so daß

\begin{eqnarray}({a}_{1},\ldots, {a}_{n}){\le }_{\displaystyle {\prod }_{i=1}^{n}{P}_{i}}({b}_{1},\ldots, {b}_{n})\iff ({a}_{i}{\le }_{{P}_{i}}{b}_{i})\end{eqnarray}

für alle i = 1,…, n.

Die Ordnung \(\displaystyle {\prod }_{i=1}^{n}({P}_{i},{\le }_{{P}_{i}})\) heißt (endliche) Produktordnung. Eine Verallgemeinerung der endlichen Produktordnung ist die Produktordnung mit endlichem Träger: Es sei I eine total geordnete Menge und {Pi, iI} eine Familie von Ordnungen mit Nullelement. Die Produktordnung mit endlichem Träger \(\displaystyle {\prod }_{i\in I}{P}_{i}\) ist definiert auf der Menge {(…, ai,…), aiPi und aj = 0 für alle j bis auf höchstens endlich viele Indizes}, wobei

\begin{eqnarray}(\ldots, {a}_{i},\ldots ){\le }_{\displaystyle {\prod }_{i\in I}^{n}{P}_{i}}(\ldots, {b}_{i},\ldots )\iff ({a}_{i}{\le }\,_{{P}_{i}}{b}_{i})\end{eqnarray}

für alle iI.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos