Operation auf Ordnungen.

Es seien (P_i, ≤ _Pi), i = 1, …, n, n ∈ ℕ Ordnungen. Das direkte Produkt \(\displaystyle {\prod }_{i=1}^{n}({P}_{i},{\le }_{{P}_{i}})\) ist die Ordnung \(({\displaystyle {\prod }_{i=1}^{n}{P}_{i},\le }\,_{\displaystyle {\prod }_{i=1}^{n}{P}_{i}})\), so daß

\begin{eqnarray}({a}_{1},\ldots, {a}_{n}){\le }_{\displaystyle {\prod }_{i=1}^{n}{P}_{i}}({b}_{1},\ldots, {b}_{n})\iff ({a}_{i}{\le }_{{P}_{i}}{b}_{i})\end{eqnarray}

Die Ordnung \(\displaystyle {\prod }_{i=1}^{n}({P}_{i},{\le }_{{P}_{i}})\) heißt (endliche) Produktordnung. Eine Verallgemeinerung der endlichen Produktordnung ist die Produktordnung mit endlichem Träger: Es sei I eine total geordnete Menge und {P_i, i ∈ I} eine Familie von Ordnungen mit Nullelement. Die Produktordnung mit endlichem Träger \(\displaystyle {\prod }_{i\in I}{P}_{i}\) ist definiert auf der Menge {(…, a_i,…), a_i ∈ P_i und a_j = 0 für alle j bis auf höchstens endlich viele Indizes}, wobei

\begin{eqnarray}(\ldots, {a}_{i},\ldots ){\le }_{\displaystyle {\prod }_{i\in I}^{n}{P}_{i}}(\ldots, {b}_{i},\ldots )\iff ({a}_{i}{\le }\,_{{P}_{i}}{b}_{i})\end{eqnarray}