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Lexikon der Mathematik: Diskretisierungsfehler

Fehler, der bei der näherungsweisen Lösung kontinuierlicher Probleme durch die Verwendung eines Diskretisierungsverfahrens entsteht.

Oft wird der Begriff im Sinne eines lokalen Diskretisierungsfehlers betrachtet. Er beschreibt dann lokal den Fehler, wenn die exakte Lösung in die Rechenvorschrift eingesetzt wird.

Man kann die Situation am besten anhand eines einfachen Beispiels erläutern: Für den wichtigen Spezialfall der Lösung von Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen der Form

\begin{eqnarray}y\text{'}=f(x,y),\,\,y(\zeta )=\eta \end{eqnarray}

ist das explizite Euler-Verfahren gegeben durch die Vorschrift

\begin{eqnarray}{d}_{i}:=y({x}_{i})-y({x}_{i-1})+hf({x}_{i},y({x}_{i})).\end{eqnarray}

Bei hinreichenden Glattheitseigenschaften von y läßt sich der lokale Diskretisierungsfehler mit Hilfe der Taylorentwicklung schreiben als

\begin{eqnarray}{d}_{i}=\frac{1}{2}{h}^{2}y\text{'}\text{'}(\xi ),\,\,\,\,\,\,{x}_{i}\le \xi \le {x}_{i+1}.\end{eqnarray}

Durch Einschließung der auftretenden Ableitungswerte (auch bei allgemeineren Einschrittoder auch Mehrschrittverfahren) in Schranken lassen sich dann auch Schranken für die Lösung selbst ermitteln.

Die Einschließung der Ableitungswerte gelingt beispielsweise mit Hilfe einer zugehörigen Integralgleichung und dem Banachschen Fixpunktsatz.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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