Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: dividierte Differenzen

Hilfsmittel innerhalb der Numerischen Mathematik zur näherungsweisen Berechnung von Ableitungen, Steigungen und Interpolationspolynomen.

Sind xν < … < xν+m gegebene reelle Zahlen, und ist f eine darauf definierte Funktion, so berechnet man zunächst

\begin{eqnarray}\Delta ({x}_{j};f):=f({x}_{j}),\,j=\nu,\ldots, \nu+m,\end{eqnarray}

und für k = 1, …, m

\begin{eqnarray}\Delta ({x}_{\nu},{x}_{\nu+1},\ldots, {x}_{\nu+k};f)=\displaystyle\frac{\Delta ({x}_{\nu},{x}_{\nu+1},\ldots, {x}_{\nu+k-1};f)}{{x}_{\nu}-{x}_{\nu+k}}-\displaystyle\frac{\Delta ({x}_{\nu+1},{x}_{\nu+2},\ldots, {x}_{\nu+k};f)}{{x}_{\nu}-{x}_{\nu+k}}.\end{eqnarray}

Δ(xν, …, xν+m;f) heißt dann dividierte Differenz m–ter Ordnung von f.

Ist f genügend oft differenzierbar, so gibt es ein ξ ∈ [xν, xν+m] mit

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{{f}^{(m)}(\xi )}{m!}=\Delta ({x}_{\nu},\ldots, {x}_{\nu+m};f).\end{eqnarray}

Insbesondere gilt also

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{{x}_{\nu},\ldots, {x}_{\nu+m}\to \xi }\Delta ({x}_{\nu},\ldots, {x}_{\nu+m};f)=\frac{{f}^{(m)}(\xi )}{m!},\end{eqnarray}

woher die manchmal auch benutzte Bezeichnung „Steigung“ für den Ausdruck Δ(xν, …, xν+m; f) kommt.

Zur Darstellung des Interpolationspolynoms mten Grades in Newtonscher Form benutzt man ebenfalls dividierte Differenzen.

Manchmal ist es nützlich, die dividierte Differenz eines Produktes von Funktionen auf dividierte Differenzen der einzelnen Faktoren zurückführen zu können. Es gilt folgender Satz:

Die Funktionen g und h seien beide auf den paar-weise verschiedenen Punkten xν, xν+1, …, xν+m definiert. Dann gilt

\begin{eqnarray}\Delta ({x}_{\nu},{x}_{\nu+1},\ldots, {x}_{\nu+m};g\cdot h)=\displaystyle \sum _{r=0}^{m}\Delta ({x}_{\nu},{x}_{\nu+1},\ldots, {x}_{\nu+r};g)\cdot \Delta ({x}_{\nu+r},\ldots, {x}_{\nu+m};h).\end{eqnarray}

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos