Hilfsmittel innerhalb der Numerischen Mathematik zur näherungsweisen Berechnung von Ableitungen, Steigungen und Interpolationspolynomen.

Sind x_ν < … < x_ν+m gegebene reelle Zahlen, und ist f eine darauf definierte Funktion, so berechnet man zunächst

\begin{eqnarray}\Delta ({x}_{j};f):=f({x}_{j}),\,j=\nu,\ldots, \nu+m,\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\Delta ({x}_{\nu},{x}_{\nu+1},\ldots, {x}_{\nu+k};f)=\displaystyle\frac{\Delta ({x}_{\nu},{x}_{\nu+1},\ldots, {x}_{\nu+k-1};f)}{{x}_{\nu}-{x}_{\nu+k}}-\displaystyle\frac{\Delta ({x}_{\nu+1},{x}_{\nu+2},\ldots, {x}_{\nu+k};f)}{{x}_{\nu}-{x}_{\nu+k}}.\end{eqnarray}

Ist f genügend oft differenzierbar, so gibt es ein ξ ∈ [x_ν, x_ν+m] mit

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{{f}^{(m)}(\xi )}{m!}=\Delta ({x}_{\nu},\ldots, {x}_{\nu+m};f).\end{eqnarray}

Insbesondere gilt also

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{{x}_{\nu},\ldots, {x}_{\nu+m}\to \xi }\Delta ({x}_{\nu},\ldots, {x}_{\nu+m};f)=\frac{{f}^{(m)}(\xi )}{m!},\end{eqnarray}

Zur Darstellung des Interpolationspolynoms mten Grades in Newtonscher Form benutzt man ebenfalls dividierte Differenzen.

Manchmal ist es nützlich, die dividierte Differenz eines Produktes von Funktionen auf dividierte Differenzen der einzelnen Faktoren zurückführen zu können. Es gilt folgender Satz:

Die Funktionen g und h seien beide auf den paar-weise verschiedenen Punkten x_ν, x_ν+1, …, x_ν+m definiert. Dann gilt

\begin{eqnarray}\Delta ({x}_{\nu},{x}_{\nu+1},\ldots, {x}_{\nu+m};g\cdot h)=\displaystyle \sum _{r=0}^{m}\Delta ({x}_{\nu},{x}_{\nu+1},\ldots, {x}_{\nu+r};g)\cdot \Delta ({x}_{\nu+r},\ldots, {x}_{\nu+m};h).\end{eqnarray}