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Lexikon der Mathematik: Doob, Ungleichungen von

einer Reihe verschiedener von J.L.Doob gefundener Ungleichungen für Sub- bzw. Supermartingale. Die wichtigsten sind im folgenden aufgelistet:

Ungleichung von Doob für Submartingale:

Sei \((\Omega, \,{\mathfrak{A}},\,P)\)ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Xn)n∈ℕ ein der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\) in \({\mathfrak{A}}\)adaptiertes Submartingal. Dann gilt für alle m ∈ ℕ und ϵ > 0

\begin{eqnarray}P(\mathop{\rm{max}}\limits_{1\le n\le m}|{X}_{n}|\ge \varepsilon )\le \frac{1}{\varepsilon }\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\{\mathop{\rm{max}}\limits_{1\le n\le m}|{X}_{n}|\ge \varepsilon \}}|{X}_{m}|dP.\end{eqnarray}

Ungleichung von Doob für nichtnegative Submartingale:

Sei (Xn)n∈ℕein nichtnegatives Submartingal. Dann gilt für alle m ∈ ℕ und α > 1

\begin{eqnarray}E\left({\left(\mathop{\rm{max}}\limits_{1\le n\le m}{X}_{n}\right)}^{\alpha }\right)\le {\left(\frac{\alpha }{\alpha -1}\right)}^{\alpha }E({X}_{m}^{\alpha }).\end{eqnarray}

Eine Verallgemeinerung dieser Ungleichung für Submartingale mit kontinuierlicher Parametermenge stellt die Doobsche Maximal-Ungleichung dar.

Ungleichung von Doob für Überquerungen:

Diese Ungleichung bezieht sich auf die Anzahl der sogenannten aufsteigenden bzw. absteigenden Überquerungen eines Intervalls [a, b] ⊆ ℝ. Ist (Xn)n∈ℕ eine Folge von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, \,{\mathfrak{A}},\,P)\) und m ∈ ℕ, so wird die Anzahl der aufsteigenden Überquerungen \({\overline{U}}_{[a,\,b]}^{m}\) von [a, b] durch die Anfangsfolge (Xn)n=1,…,m für jedes ω ∈ Ω als die größte Zahl r definiert, für die es Indizes i1 < … < i2r aus {1, …, m} gibt so, daß für alle ϱ = 1,…,r

\begin{eqnarray}{X}_{{i}_{2\varrho -1}}(\omega )\le a\,\,\,\,\text{und}\,\,\,\,{X}_{{i}_{2\varrho }}(\omega )\ge b\end{eqnarray}

gilt. Falls keine Indizes mit der angegebenen Eigenschaft existieren, setzt man \({\overline{U}}_{[a,\,b]}^{m}(\omega )\,=\,0\). Vertauscht man in der obigen Gleichung jeweils ≤ und ≥, so gibt die hierdurch definierte Zufallsvariable \({\underline{U}}_{[a,\,b]}^{m}\) die Anzahl der absteigenden Überquerungen von [a, b] durch die Anfangsfolge (Xn)n=1,…,m an.

Für jedes Supermartingal (Xn)n∈ℕ und jedes Intervall [a, b] ⊆ ℝ mit a < b kann der Erwartungswert der Zufallsvariable \({\overline{U}}_{[a,\,b]}^{m}\)für jedes m ∈ ℕ durch

\begin{eqnarray}E({\overline{U}}_{[a,b]}^{m})\le \displaystyle\frac{1}{b-a}E({({X}_{m}-a)}^{-})\end{eqnarray}

abgeschätzt werden.

Dabei bezeichnet (Xma) den Negativteil max(−(Xma), 0) von Xma. Eine analoge Ungleichung

\begin{eqnarray}E({\underline{U}}_{[a,b]}^{m})\le \displaystyle\frac{1}{b-a}E({({X}_{m}-b)}^{+})\end{eqnarray}

gilt für Submartingale (Xn)n∈ℕ, wenn man die absteigenden Überquerungen \({\underline{U}}_{[a,\,b]}^{m}\) betrachtet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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