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Lexikon der Mathematik: duale Paarung

Tripel (V, W, ⟨., .⟩), bestehend aus zwei Vektorräumen V und W über dem Körper \({\mathbb{K}}\) und einer Bilinearform \(\langle \cdot, \cdot \rangle \,:\,V\,\times \,W\,\to \,{\mathbb{K}}\), für das gilt:

\begin{eqnarray}\forall v\in V\backslash \{0\}\exists w\in W\,\text{so},\,\rm{da}\unicode{x00DF}\,\langle v,w\rangle \ne 0,\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}\forall w\in W\backslash \{0\}\exists v\in V\,\text{so},\,\rm{da}\unicode{x00DF}\,\langle v,w\rangle \ne 0.\end{eqnarray}

⟨., .⟩ wird als das die Dualität bestimmende skalare Produkt bezeichnet. Man nennt ⟨., ⟩ auch nichtausgeartet.

Ist einer der beiden Vektorräume V und W einer dualen Paarung endlichdimensional, so ist es auch der andere, und beide sind isomorph.

Ist (v1,…, vn) eine Basis von V, so gibt es genau eine Basis (w1,…, wn) von W mit

\begin{eqnarray}\langle {v}_{i},{w}_{j}\rangle ={\delta }_{ij,}\end{eqnarray}

die als die zu (v1,…, vn) duale Basis bezeichnet wird.

Jedes Tripel (V, V*, ⟨., .⟩), bestehend aus einem endlichdimensionalen Vektorraum V, seinem Dualraum V* und der durch

\begin{eqnarray}\langle \cdot, \cdot \rangle :V\times {V}^{* }\to {\mathbb{K}};\,\,(v,{v}^{* })\mapsto {v}^{* }(v)\end{eqnarray}

gegebenen Bilinearform, bildet eine duale Paarung (duales Paar); ebenso jedes Tripel (V, V, ⟨., .⟩), wo (V, ⟨., .⟩) einen endlichdimensionalen euklidischen Vektorraum bezeichnet (ein euklidischer Vektorraum ist zu sich selbst dual).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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