Lösung eines Eigenwertproblems in einem Funktionenraum.

Ist allgemein V ein Vektorraum über einem Körper K und T : V → V eine lineare Abbildung, so besteht das Eigenwertproblem darin, Lösungen λ ∈ K und x ∈ V der Gleichung T(x) − λx = 0 zu finden. Der Vektor x heißt dann im allgemeinen Eigenvektor und der Skalar λ heißt Eigenwert von T. Ist nun V ein Funktionenraum über ℝ oder ℂ, so spricht man nicht mehr von Eigenvektoren, sondern von Eigenfunktionen der Abbildung T. Man vergleiche hierzu auch Eigenwert eines Operators.

Ein wichtiges Gebiet, in dem Eigenfunktionen von Bedeutung sind, sind die Eigenwertprobleme bei Differentialgleichungen. Darunter versteht man Randwertprobleme, bei denen ein Eigenwertparameter λ auftritt. Die Lösungen des Randwertproblems bei gegebenem Parameter λ heißen dann die Eigenfunktionen des Problems. Ist andererseits eine Integralgleichung der Form \begin{eqnarray}y(x)=\lambda \cdot \displaystyle \underset{b}{\overset{b}{\int }}K(x,t)y(t)dt\end{eqnarray} gegeben, so heißen die Zahlen λ, für die es von der Nullfunktion verschiedene Lösungen y der Gleichung gibt, Eigenwerte der Gleichung, während die Lösungen selbst die Eigenfunktionen der Gleichung genannt werden.