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Lexikon der Mathematik: Eigenwert-eines-Operators

eine Zahl λ ∈ ℂ, für die \begin{eqnarray}\lambda -T:=\lambda \text{Id}-T,\end{eqnarray}T ein gegebener linearer Operator, nicht injektiv ist.

Sei X ein (unendlichdimensionaler) Banachraum und T : X ⊃ D(T) → X ein linearer Operator. Ist ker(λT) = {0}, heißt λ Eigenwert von T und ker(λT) der zugehörige Eigenraum.

Jedes von Null verschiedene Element des Eigenraums heißt Eigenvektor; wenn X ein Raum von Funktionen ist, spricht man auch von einer Eigenfunktion. Definitionsgemäß erfüllt ein Eigenvektor x zum Eigenwert λ also \begin{eqnarray}Tx=\lambda x.\end{eqnarray}

Gibt es jedoch nur eine Folge (xn) mit \begin{eqnarray}\parallel {x}_{n}\parallel =1,\quad\parallel {T}_{{x}_{n}}-\lambda {x}_{n}\parallel \to 0,\end{eqnarray} heißt λ ein approximativer Eigenwert.

Eigenwerte und approximative Eigenwerte gehören zum Spektrum von T. Während das Spektrum σ(T) eines beschränkten Operators stets nicht leer ist, braucht es keine Eigenwerte zu geben (z. B. (Tf)(s) = sf(s) auf L2[0, 1]); jedoch besteht der Rand von σ(T) aus approximativen Eigenwerten.

Ist T ein kompakter Operator oder allgemeiner ein Operator, der eine kompakte Potenz besitzt, z. B. ein p-summierender Operator, so besteht das Spektrum mit der eventuellen Ausnahme der Null nur aus Eigenwerten, und diese bilden eine Nullfolge oder eine endliche Menge. Zur Bestimmung der Vielfachheit eines Eigenwerts λ betrachtet man zuerst den zugehörigen Hauptraum \begin{eqnarray}\mathop{\cup }\limits_{n\in {\mathbb{N}}}\ker {(\lambda -T)}^{n},\end{eqnarray} der für potenzkompakte T endlichdimensional ist; seine Dimension heißt die Vielfachheit von λ. In der Eigenwertfolge von T wird nun jeder Eigenwert so häufig aufgeführt, wie seine Vielfachheit angibt. Mit Hilfe der Theorie der p-summierenden Operatoren kann man Aussagen über die Konvergenzgeschwindigkeit der Eigenwertfolge treffen.

Ist T ein abgeschlossener dicht definierter Operator mit einer kompakten Resolvente, so besteht das Spektrum ebenfalls nur aus Eigenwerten; für die Eigenwertfolge gilt diesmal |λn| → ∞.

[1] Pietsch, A.: Eigenvalues and s-Numbers. Cambridge University Press, 1987.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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