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Lexikon der Mathematik: einseitige Ableitung

Überbegriff für die linksseitige Ableitung \({f}_{-}^{^{\prime} }\) und die rechtsseitige Ableitung \({f}_{+}^{^{\prime} }\) einer auf einem offenen Intervall I ⊂ ℝ definierten Funktion f : I → ℝ.

An den Stellen aI, für die sowohl \({f}_{-}^{^{\prime} }(a)\) als auch \({f}_{+}^{^{\prime} }(a)\) existiert und \({f}_{-}^{^{\prime} }(a)={f}_{+}^{^{\prime} }(a)\) gilt, ist f differenzierbar und hat die Ableitung \begin{eqnarray}f^{\prime} (a)={f}_{-}^{^{\prime} }(a)={f}_{+}^{^{\prime} }(a).\end{eqnarray}

Es gibt höchstens abzählbar viele Stellen aI, für die \({f}_{-}^{^{\prime} }(a)\) und \({f}_{+}^{^{\prime} }(a)\) existieren, aber \begin{eqnarray}{f}_{-}^{^{\prime} }(a)\ne {f}_{+}^{^{\prime} }(a)\end{eqnarray} ist.

Das einfachste Beispiel einer Funktion, die an einer Stelle links- und rechtsseitig differenzierbar, aber nicht differenzierbar ist, ist die Betragsfunktion: Die Funktion | · | : ℝ → [0, ∞) ist differenzierbar in ℝ \ {0} mit |x|′ = −1 für x < 0 und |x|′ = 1 für x > 0. An der Stelle 0 aber gilt \begin{eqnarray}|0{|}_{-}^{^{\prime} }=-1\ne 1=|0{|}_{+}^{^{\prime} }.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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