Realisierung des Stichprobenkorrelationskoeffizienten aufgrund einer konkreten Stichprobe.

Sei (X, Y) ein (zweidimensionaler) zufälliger Vektor und ((X₁, Y₁), …, (X_n, Y_n)) eine zugehörige mathematische Stichprobe von (X, Y), d. h., die Komponenten (X_i, Y_i) sind unabhängige zufällige Vektoren mit der gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilung wie der zufällige Vektor (X, Y).

Eine Punktschätzung für die Korrelation ϱ zwischen X und Y liefert der sogenannte Stichprobenkorrelationskoeffizient \begin{eqnarray}\hat{\varrho }=\frac{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}({X}_{i}-\overline{X})({Y}_{i}-\overline{Y})}{\sqrt{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline{X})}^{2} {\sum }_{i=1}^{n} {({Y}_{i}-\overline{Y})}^{2}}}\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}\overline{X}=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{X}_{i},\quad\overline{Y}=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{Y}_{i}.\end{eqnarray}

Eine Realisierung von \(\hat{\varrho }\) aufgrund einer konkreten Stichprobe ((x₁, y₁), …, (x_n, y_n)) heißt empirischer Korrelationskoeffizient. Er wird auch als Pearsonscher Korrelationskoeffizient bezeichnet und in der beschreibenden bzw. deskriptiven Statistik zur informellen Beschreibung des Zusammenhangs zwischen zwei zufälligen Merkmalen verwendet.

Unter der Annahme, daß (X, Y) eine zweidimensionale Normalverteilung besitzt und X, Y unkorreliert sind, also ϱ = 0 ist, ist \(\hat{\varrho }\) eine erwartungstreue Schätzfunktion für ϱ.

Mehr noch, die Größe \begin{eqnarray}T=\sqrt{n-2}\cdot \frac{\hat{\varrho }}{\sqrt{1-{\hat{\varrho }}^{2}}}\end{eqnarray} besitzt unter diesen Annahmen eine t–Verteilung mit n − 2 Freiheitsgraden.

T wird als Testgröße zum Testen der Hypothese H₀ : ϱ = 0 (also zum Prüfen, ob X und Y unkorreliert, bzw. wegen der Normalverteilung, unabhängig sind) verwendet.