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Lexikon der Mathematik: energetischer Raum

ein zu einem halbbeschränkten Operator assoziierter Hilbertraum.

Sei T : H ⊃ D(T) → H ein symmetrischer halbbeschränkter Operator, der \begin{eqnarray}\langle Tx,x\rangle \ge c{\Vert x\Vert }^{2}\,\,\,\,\,\,\forall x\in \text{D}(T)\end{eqnarray} erfüllt.

Sei λ > −c. Das energetische Skalarprodukt und die energetische Norm auf D(T) sind durch \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}{[x,y]}_{\lambda } & = & \langle Tx,y\rangle +\lambda \langle x,y\rangle \\ {\Vert x\Vert }_{\lambda } & = & {[x,x]}_{\lambda }^{1/2}\end{array}\end{eqnarray} erklärt. Ist auch μ > −c, so sind ∥ · ∥λ und ∥ · ∥μ äquivalent.

Der energetische Raum HT ist die Vervollständigung von D(T) unter ∥ · ∥λ; diese hängt also nicht von der Wahl von λ ab, und HT kann mit {xH : es existiert eine ∥ · ∥λ-Cauchy-Folge (xn) in D(T) mit ∥xnx∥ → 0} identifiziert werden.

Der energetische Raum spielt eine wichtige Rolle bei der Konstruktion der Friedrichs-Fortsetzung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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