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Lexikon der Mathematik: exakte Garbensequenz

Übertragung des Begriffes der exakten Sequenz auf Garben.

Unter einer Sequenz von Garben (von \(\begin{eqnarray}{\mathcal{A}}\end{eqnarray}\)-Moduln) über einem topologischen Raum X versteht man ein Diagramm \begin{eqnarray}\ldots {{\mathcal{F}}}_{i}\mathop{\to }\limits^{{h}_{i}}{{\mathcal{F}}}_{i+1}\mathop{\to }\limits^{{h}_{i+1}}{{\mathcal{F}}}_{i+2}\ldots =:{\mathcal{F}}.,\end{eqnarray}

in welchem die \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}_{i}}\end{eqnarray}\) Garben (von \(\begin{eqnarray}{\mathcal{A}}\end{eqnarray}\)-Moduln) und die hi entsprechende Homomorphismen sind. Dabei darf die Sequenz \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}}\end{eqnarray}\). einseitig oder beidseitig abbrechen. Die Sequenz \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}}\end{eqnarray}\). heißt exakt an der Stelle \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}_{i}}\end{eqnarray}\) oder an der Stelle i, wenn Im (hi−1) = Ker (hi). Ist \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}}\end{eqnarray}\). an allen möglichen Stellen exakt, so spricht man von einer exakten Sequenz von Garben. Eine exakte Garbensequenz der Form \begin{eqnarray}0\to {{\mathcal{F}}}_{1}\mathop{\to }\limits^{{h}_{i}}{{\mathcal{F}}}_{2}\mathop{\to }\limits^{{h}_{2}}{{\mathcal{F}}}_{3}\to 0\end{eqnarray}

heißt kurze exakte Garbensequez. Ist pX, so nennt man \begin{eqnarray}\ldots {({{\mathcal{F}}}_{i})}_{p}\mathop{\to }\limits^{{({h}_{i})}_{p}}{({{\mathcal{F}}}_{i+1})}_{p}\mathop{\to }\limits^{{({h}_{i+1})}_{p}}{({{\mathcal{F}}}_{i+2})}_{p}\ldots =:{({\mathcal{F}}.)}_{p}\end{eqnarray}

die durch \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}}\end{eqnarray}\). „in den Halmen über p induzierte Sequenz“. Die Sequenz \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}}\end{eqnarray}\). ist genau dann exakt an der Stelle i, wenn die induzierte Sequenz \(\begin{eqnarray}{( {\mathcal F}.)}_{p}\end{eqnarray}\) exakt ist an der Stelle i f ür alle pX.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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