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Lexikon der Mathematik: F-Test

ein spezieller Signifikanztest zum Prüfen der Gleichheit der Varianzen zweier unabhängiger normalverteilter Zufallsgrößen X und Y.

Seien X normalverteilt mit dem Erwartungswert μX und der Varianz \(\sigma_{X}^{2}\) und Y normalverteilt mit dem Erwartungswert μY und der Varianz \(\sigma_{Y}^{2}\). Die zu prüfenden Hypothesen lauten im zweiseitigen Testfall \begin{equation} H:\sigma_{X}^{2}=\sigma_{Y}^{2} \ \mathrm{gegen}\ \mathrm{die}\ \mathrm{Alternative} \ K:\sigma_{X}^{2}\neq \sigma_{Y}^{2} \end{equation} Angenommen, wir haben zwei Stichproben X1, …, Xn1 und Y1, …, Yn2 vom Umfang ni und n2 von X und Y. Die verwendete Testgröße ist \begin{equation} T=\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \end{equation} wobei \begin{equation} S_{1}^{2}=\frac{1}{n_{1}-1}\sum_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}-\bar{X})^{2} \end{equation} und \begin{equation} S_{2}^{2}=\frac{1}{n_{2}-1}\sum_{i=1}^{n_{2}}(Y_{i}-\bar{Y})^{2} \end{equation} die Stichprobenvarianzen (empirische Streuung) von X und Y sind. Unter der Annahme der Gültigkeit der Nullhypothese H besitzt T eine F-Verteilung mit (n1 − 1 ) und (n2 − 1 ) Freiheitsgraden. Im Falle des zweiseitigen Tests wird die Nullhypothese H nur dann nicht abgelehnt, wenn die auf der Basis einer konkreten Stichprobe berechnete Testgröße T zwischen zwei kritischen Werten ε1 und ε2 liegt d. h., wenn gilt \begin{equation} \varepsilon_{1} \lt T \lt \varepsilon_{2} \end{equation} Die kritischen Werte ε1 und ε2 werden dabei so bestimmt, daß die Unter- bzw. Überschreitungswahrscheinlichkeit jeweils \(\frac{\alpha}{2}\) beträgt; es sind also \begin{align} &\varepsilon_{1}=F_{n_{1}-1,n_{2}-1}(\frac{\alpha}{2})\ \ \ \mathrm{und}\\ &\varepsilon_{2}=F_{n_{1}-1,n_{2}-1}(1-\frac{\alpha}{2}) \end{align} das \((\frac{\alpha}{2})\)- bzw. das \((1-\frac{\alpha}{2})\)-Quantil der F-Verteilung mit (n1 − 1) und (n2 − 1) Freiheitsgraden. Bei dieser Wahl der kritischen Werte ist der Fehler 1. Art dieses Tests gerade gleich α; es gilt P(T ∉ (ε1, ε2)) = α, man vergleiche hierzu auch die Abbildung. Der F-Test kann auch als einseitiger Test aufgebaut werden. In diesem Fall lauten die Hypothesen \begin{equation}H:\sigma_{X}^{2}=\sigma_{Y}^{2}\ \mathrm{gegen}\ \mathrm{die}\ \mathrm{Alternative}\ \ K:\sigma_{X}^{2}>\sigma_{Y}^{2}\end{equation}?> Die o.g. Testgröße T wird in diesem Fall nur mit einem kritischen Wert ε verglichen. Ist T > ε, wobei ε = Fn1 − 1, n2 − 1(1 − α) das (1 − α)-Quantil der F-Verteilung mit (n1 − 1) und (n2 − 1) Freiheitsgraden ist, so wird H abgelehnt, andernfalls wird H angenommen.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel F-Test
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Verteilungsdichte von T (n1 = 21, n2 = 16);Ablehne- und Annahmebereich von H für α = 0,05

Ein Beispiel: Zwei Gruppen von Studenten mit n1 = 15 und n2 = 13 Teilnehmern werden nach zwei unterschiedlichen Lehrmethoden ausgebildet. In einem abschließenden Test erreichten beide Gruppen eine durchschnittliche Punktzahl von \(\bar{x}=\bar{y}=50,7\) Punkten bei einer Standardabweichung von s1 = 4,3 Punkten in der 1. Gruppe und s2 = 9,1 Punkten in der 2. Gruppe. Es soll nun auf einem Signifikanzniveau von α = 0,02 geprüft werden, ob der beobachtete Unterschied in den Standardabweichungen signifikant ist. Es ist der zweiseitige Test durchzuführen. Für die Testgröße T erhalten wir \begin{equation} T=\frac{4,3^{2}}{9,1^{2}}=0.22. \end{equation} Aus den entsprechenden Quantiltabellen der F-Verteilung lesen wir die kritischen Werte ab: \begin{align} &\varepsilon_{1}=F_{14,12}(0,0,1)=\frac{1}{F_{12,14}(0,99)}=0,26,\\ & \varepsilon_{2}=F_{14,12}(0,99)=4,05. \end{align} Da T < ε1 ist, liegt T im Ablehnebereich des Tests, d. h. die Nullhypothese H wird abgelehnt. Es kann also auf einen signifikanten Unterschied der beiden Varianzen bei Anwendung der beiden Lehrmethoden geschlossen werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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