Integralkern für die Berechnung von Fejér-Summen.

Es sei \(\begin{eqnarray}{s}_{n}f(x)=\displaystyle {\sum }_{|k|\le n}{c}_{k}{e}^{ikx}\end{eqnarray}\) die n-te symmetrische Partialsumme der (komplexen) Fourier-Reihe einer 2π-periodischen Funktion f und \begin{eqnarray}{\sigma }_{N}f(x)=\frac{1}{N+1}\displaystyle \sum _{n=0}^{N}{s}_{n}f(x)\end{eqnarray}

die Fejér-Summe. Dann gilt \begin{eqnarray}{\sigma }_{N}f(x)=\frac{1}{2\pi }\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{K}_{N}(x-t)f(t)dt\end{eqnarray}

mit dem Fejér-Kern K_N : [−π, π] ↠ ℝ, \begin{eqnarray}{K}_{N}(x)=\frac{1}{N+1}{\left(\frac{\sin ((N+1)x/2)}{\sin (x/2)}\right)}^{2},x\ne \mathrm{0,}\end{eqnarray}

und K_N(0) = N + 1. Der Kern K_N ist eine sog. approximative Identität, denn es gilt:

i) K_N ≥ 0,

ii) \(\frac{1}{2\pi }\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{K}_{N}(t)dt=1,\)

iii) \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{N\to \infty }{K}_{N}(t)=0\) für t ≠ 0,

und für δ > 0 konvergiert K_N auf [−π, π] \ (−δ, δ) gleichmässig.