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Lexikon der Mathematik: Fibonacci-Folge

die Folge (fn)n∈ℕ natürlicher Zahlen, die durch die Anfangswerte f1 = f2 = 1 und die Rekursionsformel

\begin{eqnarray}\begin{equation}f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\end{equation}\end{eqnarray}

definiert ist. Die Fibonacci-Folge, deren Elemente auch Fibonacci-Zahlen genannt werden, beginnt mit den Werten

\begin{eqnarray}\begin{equation}1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ 144,\ldots.\end{equation}\end{eqnarray}

Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, stellte in seinem 1202 erschienen Buch Il liber abbaci die berühmte Kaninchenaufgabe, die in heutiger Formulierung etwa so lautet:

Wir nehmen an:

  1. Jedes Kaninchenpaar wird im Alter von 2 Monaten gebärfähig,
  2. jedes Kaninchenpaar bringt (ab dem dritten Monat) jeden Monat ein neues Paar zu Welt,
  3. alle Kaninchen leben ewig (oder wenigstens lange genug).
Beginnen wir nun mit einem frischgeborenen Kaninchenpaar. Wie viele Kaninchenpaare, die von diesem einen Paar abstammen, leben im n-ten Monat?

Im ersten Monat haben wir 1 Paar, im zweiten Monat immer noch 1 Paar, das gerade gebärfähig wird, im dritten Monat haben wir dann 2 Paare, usw.. Bezeichnen wir mit fn die Anzahl der Kaninchenpaare im n-ten Monat. Die Anzahl der im (n + 1)-ten Monat lebenden Kaninchenpaare besteht gerade aus denen, die schon im n-ten Monat da waren, plus den frisch geborenen. Letztere sind gerade so viele, wie die Anzahl der Paare, die schon im (n − 1)-ten Monat lebten. So kommt man zu der Rekursionsformel

\begin{eqnarray}\begin{equation}f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1}.\end{equation}\end{eqnarray}

Die sog. Binetsche Formel zur direkten Berechnung der Fibonacci-Zahlen lautet

\begin{eqnarray}\begin{equation}f_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\Biggl(\Biggl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Biggr)^{n}-\Biggl(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Biggr)^{n}\Biggr).\end{equation}\end{eqnarray}

Sie ergibt sich aus der Potenzreihe \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{{f}_{n}}{{f}_{n-1}}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5});\end{eqnarray} mittels Partialbruchzerlegung ist die Reihenentwicklung der rechten Seite leicht zu ermitteln, und der Identitätssatz für Potenzreihen liefert dann die Behauptung.

Eine wichtige Eigenschaft der Fibonacci-Zahlen ist die Konvergenz \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{{f}_{n}}{{f}_{n-1}}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5});\end{eqnarray} in der Tat ist die Folge der Quotienten fn/fn−1 gerade die Folge der Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung des Goldenen Schnitts.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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