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Lexikon der Mathematik: Fourier-Integraloperator

ein Integraloperator A von der Form

\begin{eqnarray}\begin{align} Af(x):=&(2\pi)^{-(n+N)/2}\int_{\mathbb{R}^{N}}\int_{\mathbb{R}^{n}}e^{i\phi(x,\vartheta,y)}\\ & a(x,\vartheta,y)f(y)d^{n}y d^{N}\vartheta, \end{align}\end{eqnarray}

typischerweise definiert als Abbildung von \(C^{\infty}_{0}(\mathbb{R}^{N})\) in die Distributionen \({{\mathcal{D}}}^{^{\prime} }({{\mathbb{R}}}^{N})\), wobei man a als die Amplitudenfunktion oder das Symbol und ϕ als diePhasenfunktion von A bezeichnet. Man fordert wei-terhin für die Regularität von A für die Amplitudenfunktion

\begin{eqnarray}\begin{align} &\vert D_{x}^{\alpha}D_{\vartheta}^{\beta}D_{y}^{\gamma}a(x,\vartheta,y)\vert\\ & \leq C_{\alpha,\beta,\gamma}(1+\vert\vartheta\vert)^{m-\varrho\vert\beta\vert+\delta(\vert\alpha\vert+\vert\gamma\vert)} \end{align}\end{eqnarray}

für ein geeignetes m ∈ ℤ, 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ δ < 1 und für Multiindizes α, γβ ∈ ℕN. Dabei ist

\begin{eqnarray}\begin{align} &\sum_{j=1}^{n}\left\vert \frac{\partial \phi(x,\vartheta,y)}{\partial x^{i}}\right\vert^{2}+\sum_{j=1}^{n}\left\vert \frac{\partial \phi(x,\vartheta,y)}{\partial y^{i}}\right\vert^{2}+\\ &\qquad\sum_{j=1}^{n}\left\vert \frac{\partial \phi(x,\vartheta,y)}{\partial \vartheta^{i}}\right\vert^{2}>0 \end{align}$$?> für ϑ ≠ 0.

Wir bezeichnen die Menge Cφ, definiert durch

\begin{eqnarray}\begin{equation} a_{\wedge}:\sqrt{J}_{a\vert C_{\phi}}\circ \Phi^{-1}e^{i\pi M/4} \end{equation}\end{eqnarray}

auch als das Symbol von A. Dabei ist M ∈ ℤ eine durch die Matrix Q bestimmte ganze Zahl, die der Maslow-Index von A genannt wird. Stellt man den gleichen Operator mit einer anderen Amplituden- und (nicht-degenerierten) Phasenfunktion dar, so bleibt hierbei die Lagrange-Mannigfaltigkeit Λ sowie der Maslow-Index unverändert. Die Singularitäten des Integralkernes von A hängen nun nur von dem Verhalten des Symboles aл und von der Lagrange-Mannigfaltigkeit Λ ab.

Umgekehrt kann man durch Vorgabe einer konischen Lagrange-Mannigfaltigkeit und eines Symboles aΛ auf Λ immer lokal einen FourierIntegraloperator A so definieren, daß dessen Symbol und Langrange-Mannigfaltigkeit den vorgegebenen Objekten entsprechen, für eine globale Konstruktion muß aber der Maslow-Index in Betracht gezogen werden.

Fourier-Integraloperatoren enstehen typischerweise beim Studium asymptotischer Entwicklungen stark oszillierender Lösungen von partiellen Differentialgleichungen, beim Studium der Singularitäten der Fundamentallösungen hyperbolischer Gleichungen, sowie bei der Behandlung von Pseudodifferentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. Genauer, jeder Pseudodifferentialoperator ist ein Fourier-Integraloperator, die Phasenfunktion ist hierbei durch

\begin{eqnarray}\begin{equation} \phi(x,\vartheta,y)=\langle \vartheta, x-y\rangle \end{equation}\end{eqnarray}

gegeben.

Umgekehrt läßt sich ein Fourier-Integraloperator dann und nur dann als Pseudodifferentialoperator schreiben, wenn die Lagrange-Mannigfaltigkeit Λ der Graph der Identität von T*(ℝn) ist.

[1] Hörmander, L.: The Analysis of Linear Partial Differential Operators I-IV. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1985.
[2] Maslow, V.P.: Théorie des pertubations et méthodes asym- ptotiques. Dunod, 1972.
[3] Peterson, B.E.: Introduction to the Fourier transform and pseudo-differential operators. Pitman, 1983.
[4] Robert, D.: Autour de l′Approximation Semi-Classique. Birhäuser Basel, 1987.
[5] Taylor, M.E.: Pseudodifferential operators. Princeton Univ. Press, 1981.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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