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Lexikon der Mathematik: Fredholm, Eric Ivar

schwedischer Mathematiker, geb. 7.4.1866 Stockholm, gest. 17.8.1927 Stockholm.

Als Sohn eines wohlhabenden Kaufmanns geboren, wuchs Fredholm in einer kulturell anregenden Atmosphäre auf. Er erhielt eine ausgezeichnete Schulbildung und begann 1885 ein Studium am Polytechnischen Institut in Stockholm. Aus dieser Zeit bewahrte er sich ein lebenslanges Interesse für Probleme der praktischen Mechanik. 1886 setzte er das Studium in Uppsala fort, der einzigen schwedischen Universität, die das Graduierungsrecht besaß. Ab 1888 studierte er in Stockholm, < ?PageNum _183u. a. bei G. Mittag-Leffler (1846–1927), und promovierte 1898 in Uppsala. In gleichen Jahr erhielt er eine Anstellung an der Universität Stockholm und wurde 1906 zum Professor für Mechanik und mathematische Physik berufen. Diese Position bekleidete er bis zum Lebensende.

In seiner Dissertation löste Fredholm Differentialgleichungen, die beim Studium der Deformation anisotroper Medien auftreten. Diese Methode konnte er 1908 auf allgemeine elliptische partielle Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ausdehnen. Fredholms Hauptwerk war jedoch die Lösung der Integralgleichung 2. Art, die heute nach ihm benannt ist:

\begin{eqnarray}x(s)-\int\limits_{a}^{b}k(s,t)x(t)dt=b(s),\end{eqnarray}

wobei k der stetige Kern und b die gesuchte Funktion ist.

Diese Gleichung spielte eine bedeutende Rolle bei der Lösung physikalischer Aufgaben und war bereits zuvor von N.H. Abel, C. Neumann und V. Volterra für Spezialfälle gelöst worden. Grundlage des Verfahrens war Fredholms einzigartige Idee, die Analogie zur Lösung des linearen Gleichungssystems (I + F)X = V auszunutzen. Er definierte eine verallgemeinerte Determinante, übertrug das Cramersche Verfahren formal auf das Unendliche und zeigte, daß die so erhaltene Funktion die Ausgangsgleichung löste. Exakt wurde der Grenzübergang erst 1904 von D. Hilbert begründet.

Nach einer vorläufigen Mitteilung im Jahre 1900 publizierte Fredholm die vollständige Theorie 1903 in den „Acta mathematica“. Darin formulierte er auch die Fredholm-Alternative und eine entsprechende Lösungstheorie für die Integralgleichung mit dem Kern λf. Letzteres lieferte u. a. eine Entwicklung der Lösungsfunktion ϕ als meromorphe Funktion in eine Potenzreihe nach λ, und schloß damit eine von H.Poincaré bei der Behandlung der schwingenden Membran gelassene Lücke. Fredholms Arbeit enthielt wichtige Ansätze zum Begriff des Operators (Transformation) im Funktionenraum und bildete eine der Quellen, aus denen D. Hilbert sowie E. Schmidt und F. Riesz bei der Schaffung der Hilbertraum-Theorie schöpften.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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