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Lexikon der Mathematik: Fredholmsche Integral-Gleichung

Integralgleichung in einer der folgenden Formen:

\begin{eqnarray} \int\limits_{D}k(x,y)\varphi(y)dy=f(x),\end{eqnarray}

\begin{eqnarray} A(x)\varphi(x)-\int\limits_{D}k(x,y)\varphi(y)dy=f(x).\end{eqnarray}

Dabei sind D ⊂ ℝn sowie f, A auf D und k auf D × D definierte Funktionen; die Funktion φ ist zu bestimmen.

Man spricht von einer Fredholmschen Integralgleichung erster (1), zweiter (2) bzw. dritter (3) Art. Die Funktion k heißt (Integral-)Kern der Fredholmschen Integralgleichung. Für einen stetigen Kern läßt sich z. B. die Fredholmsche Integralgleichung (1) mittels des Fredholm-Operators

\begin{eqnarray}K:C^{0}(D)\rightarrow C^{0}(D),\ (K\varphi)(x):=\int\limits_{D}k(x,y)\varphi(y)dy\end{eqnarray}

schreiben als Kφ = f.

Fredholmsche Integral-Gleichungen können als kontinuierliche Analoga linearer Gleichungssysteme angesehen werden.

[1] Heuser, H.: Funktionalanalysis. B.G. Teubner Stuttgart, 1992.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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