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Lexikon der Mathematik: Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Hauptsatz der Analysis, präzisiert die folgende fundamentale Aussage über den Zusammenhang zwischen Differentiation und Integration: Für eine stetige Funktion f liefert die zugehörige „Flächenfunktion“ F eine Stammfunktion:

Für ∞ < a < b < ∞ und eine stetige Funktion f : [a, b] → ℝ liefert \begin{equation} F(x):=\int \limits_{a}^{x} f(t)\ dt\ \ \ (x\in [a,b]) \end{equation}eine Stammfunktion, also: F ist differenzierbar mit F′ = f.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Fundamentalsatz der Differential- und Integral-rechnung
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Man findet in diesem Zusammmenhang gelegentlich auch die Redeweise „Integration glättet“: Die Flächenfunktion einer stetigen Funktion ist (stetig) differenzierbar. Zur Definition von F ist zu bemerken: Aus der Stetigkeit von f auf [a, b] folgt — viagleichmäßiger Stetigkeit — die Integrierbarkeit von f über [a, b] und damit über [a, x].

Wegen der zentralen Bedeutung dieses Satzesseien für ihn und die nachfolgende Folgerung Beweise ausgeführt:

Ohne Einschränkung seien x ∈ [a, b], h > 0 mit (x + h) ∈ [a, b]. Dann gilt \begin{align} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} & =\frac{1}{h}\left(\int \limits_{a}^{x+h}f(t)\ dt-\int \limits_{a}^{x}f(t)\ dt\right)\\ &=\frac{1}{h}\int \limits_{x}^{x+h}f(t)\ dt \end{align}? Hier kann man abschätzen: \begin{align} \min\{f(s)\vert x\leq s\leq h\}\leq \frac{1}{h}\int \limits_{x}^{x+h} f(t)\ dt\\ \leq \max\{f(s)\vert x\leq s \leq x+h\}. \end{align} Wegen der Stetigkeit von f streben die linke unddie rechte Seite für h → 0 gegen f(x), also auch \begin{equation} \frac{1}{h}\int \limits_{x}^{x+h}f(t)\ dt \end{equation} Als Folgerung (aus dem Fundamentalsatz) hat mandie folgende Aussage, die oft auch selbst als Haupt-oder Fundamentalsatz bezeichnet wird:

Für −∞ < a < b < ∞, f : [a, b] → ℝ stetig undeine Stammfunktion G zu f gilt: \begin{equation} \int \limits_{b}^{a}f(t)\ dt=G(b)-G(a)=:G(x)\vert^{b}_{a} \end{equation}

Beweis: Nach dem Fundamentalsatz wird durch die Flächenfunktion \(F(x)=\displaystyle {\int }_{a}^{x}f(t)\ dt\) eine Stammfunktion F zu f definiert. Da auch G Stammfunktion zu f ist, gilt F(x) = G(x) + c, also (wegen F(a) = 0) c = −G(a). Daher folgt \begin{equation} \int \limits_{a}^{b}f(t)\ dt=F(b)=G(b)+c=G(b)-G(a). \end{equation} Die Berechnung von Integralen über die Definition (hier als Riemann-Integral) ist meist beschwerlich und viel zu aufwendig. Der Fundamentalsatz zeigt, daß Stammfunktionen ein sehr leistungsfähiges Hilfsmittel liefern und dieses Vorgehen für stetige Integranden prinzipiell immer möglich ist.

Die Bedeutung dieses Satzes für die Mathematik und ihre Anwendungen kann kaum überschätzt werden; er verbindet die beiden zentralen – ursprünglich und von der Fragestellung her völlig getrennten – Gebiete der Analysis: Differential- und Integralrechnung. Eine wesentliche Aufgabe ist somit das kalkülmäßige Aufsuchen von Stammfunktionen für große Klassen von wichtigen Funktionen. Diese kennt man für eine große Anzahl elementarer Funktionen allein dadurch, daß man die Ableitungsformeln „rückwärts“ liest. Das Problem ist also die Umkehrung der Differentiation. In einfachsten Fällen kann man eine solche Funktion F sofort hinschreiben, z. B.: \begin{eqnarray} \begin{array}{lrl} f(x)=e^{x} & (x\in \mathbb{R}): & F(x)=e^{x} \\ f(x)=2x & (x \in \mathbb{R}): & F(x)=x^{2} \\ f(x)=\sin x\ & (x \in \mathbb{R}): & F(x)=-\cos x \\ f(x)=\frac{1}{x}\ & (x \gt 0): & F(x)=\ln x \\ f(x)=a & (x\in \mathbb{R}): & F(x)=ax, \end{array} \end{eqnarray} wobei a eine beliebige Konstante bezeichnet.

Die o. a. Folgerung kann leicht noch ausgedehnt werden auf den Fall, daß die Ableitung f nur Riemann-integrierbar (und damit nicht notwendig stetig) ist.

Obwohl der Satz die Existenz von Stammfunktionen für alle stetigen Funktionen garantiert, ist das zunächst nur eine theoretische Aussage; denn auch für stetige Funktionen kann es schwierig oder gar unmöglich sein, Stammfunktionen mit Hilfe bereits bekannter Funktionen explizit auszudrücken. Ein erstes Beispiel lernt man dazu schon in der Schule: „Die“ Stammfunktion zu \([f:\mathbb{R}\backepsilon x\mapsto \frac{1}{x}]\) ist nicht rational. Kennt man die Logarithmusfunktion noch nicht, so läßt sich keine Stammfunktion von f explizit angeben. Es ist dann durchaus sinnvoll – das hängt vom gewählten Zugang ab – die (reelle) Logarithmusfunktion über \begin{equation} \int \limits_{1}^{x}\frac{1}{t}dt=\ln x\ \ \ \ (x \in (0,\infty)) \end{equation} zu definieren.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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