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Lexikon der Mathematik: Gelfand-Kirillow-Dimension

meist bezeichnet mit GKdim A, ist eine (nicht notwendig ganze) reelle Zahl ≥ 0, die einer assoziativen Algebra A (mit Einselement 1A) über dem Körper \({\mathbb{K}}\) zugeordnet werden kann. Sie mißt den (nichtkommutativen) Transzendenzgrad von A über \({\mathbb{K}}\) und ist wie folgt definiert: Ein endlichdimensionaler Untervektorraum V von A, der 1A enthält, wird ein Rahmen für A genannt, falls \({\mathbb{K}}|V|=A\). Hierbei ist \({\mathbb{K}}|V|\) die von V erzeugte Unteralgebra. Ist solch ein Rahmen gegeben, so bilden die Räume \begin{eqnarray}{F}_{n}^{V}(A)=\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{V}^{i}\end{eqnarray} für n = 0, 1,… eine aufsteigende Kette von Unterräumen, die jeweils von Monomen der Länge ≤ n in den Basiselementen von V erzeugt werden. Die Gelfand-Kirillow-Dimension ist definiert als \begin{eqnarray}\text{GKdim}\space A=\mathop{\mathrm{lim}\space \sup }\limits_{n}\frac{\mathrm{log}\space \dim \space {F}_{n}^{V}(A)}{\mathrm{log}\space n}.\end{eqnarray}

Sie ist unabhängig von der Wahl des Rahmens V, und sie kann den Wert ∞ annehmen. Existiert kein Rahmen V, dann setzt man sie gleich ∞.

Einige Resultate über die GKdim sind:

  1. A algebraisch über \({\mathbb{K}}\space \Rightarrow \mathrm{GKdim}A\space =0\).
  2. Aus dem Intervall [0, 1] treten nur die Werte 0 und 1 auf.
  3. Alle r ∈ ℝ mit r ≥ 2 treten auf.
  4. Ist die Algebra A ein endlich erzeugter Modul über einer affinen kommutativen \({\mathbb{K}}\)-Algebra, dann ist Gkdim A gleich der Krull-Dimension von A.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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