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Lexikon der Mathematik: gleichgradige Integrierbarkeit

gleichmäßige Integrierbarkeit, Verallgemeinerung des Riemannschen Integrabilitätskriteriums auf Funktionenmengen.

Wir geben zunächst eine reell-analytische Formulierung: Es sei [a, b] ein Intervall und \({\mathfrak{F}}\) eine Menge von auf [a, b] definierten und beschränkten reellen Funktionen. Für eine beliebige Zerlegung Z des Intervalls [a, b] in Teilintervalle bezeichne Δ(Z) die Länge des größten Teilintervalls von Z. Für \(f\space \in \space {\mathfrak{F}}\) und eine Zerlegung Z sei \({S}_{f}(Z)\space =\space \displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{F}_{i}\Delta \space {x}_{i}\) und \({s}_{f}(Z)\space =\space \displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{f}_{i}\Delta \space {x}_{i}\). Dabei sei Δ(xi) die Länge des Teilintervalls [xi−1, xi] von Z, Fi das Supremum von f auf [xi−1, xi] und fi das Infimum von f auf [xi−1, xi]. Dann heißt \({\mathfrak{F}}\) gleichgradig integrierbar, falls es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, so daß gilt: Für jede Zerlegung Z mit Δ(Z) < δ und für jedes f ∈ \(f\space \in {\mathfrak{F}}\) ist Sf(Z) − sf (Z) < ϵ.

Im Kontext integrierbarer Zufallsvariablen ver-steht man unter gleichgradiger Integrierbarkeit die Eigenschaft \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{c\to \infty }\left(\mathop{\sup }\limits_{i\in I}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\{|{X}_{i}|\ge c\}}|{X}_{i}|dP\right)=0\end{eqnarray} einer auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},\space {\mathfrak{A}},\space P)\) definierten Familie (Xi)i∈I von integrierbaren reellen oder komplexen Zufallsvariablen mit beliebiger Indexmenge I.

Schließlich noch eine maßtheoretische Fassung des Begriffs gleichgradige Integrierbarkeit, die mit obiger z.T. überlappt. Hier versteht man unter einer einer Menge gleichgradig integrierbarer Funktionen eine Familie meßbarer Funktionen mit folgender Eigenschaft:

Es sei \(({\rm{\Omega }},\space {\mathscr{A}},\space \mu )\) ein Maßraum und \(M\space \subseteq \space \{f\space :\space {\rm{\Omega }}\space \to \space \bar{{\mathbb{R}}}|f\}\) meßbare Funktion}. M heißt gleichgradig integrierbar, wenn es zu jedem ϵ > 0 eine μ-integrierbare Funktion g ≥ 0 auf Ω so existiert, daß \begin{eqnarray}\displaystyle \int {1}_{\{|f|\ge g\}}|f|d\mu \le \varepsilon \end{eqnarray} ist für alle fM.

Für jede Folge (fn|n ∈ ℕ) von p-fach μ-integrierbare Funktionen sind folgende Aussagen äquivalent:

  • Die Folge (fn|n ∈ ℕ) konvergiert im p-ten Mittel.
  • Die Folge (fn|n ∈ ℕ) konvergiert μ-stochastisch, und die Folge (|fn|p) ist gleichgradig integrierbar.

Ein Kriterium für die gleichgradige Integrierbarkeit ist die folgende de la Vallée Poussin-Bedingung:

Es sei \(({\rm{\Omega }},\space {\mathscr{A}},\mu )\)ein Maßraum, μ(Ω) < ∞, und M eine Menge μ-integrierbarer Funktionen auf Ω. M ist genau dann gleichgradig integrierbar, wenn es eine Funktion g : ℝ+ → ℝ+gibt mit \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty }g(x)/x=\infty \space \space \text{und}\space \space \mathop{\sup }\limits_{f\in M}\displaystyle \int g\circ |f|d\mu \lt \infty.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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