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Lexikon der Mathematik: gleichmäßige Approximation

die beste Approximation einer Funktion in der Maximum- oder Tschebyschew-Norm.

Es sei f : [a, b] → ℝ stetig. Auf dem Raum C[a, b] aller stetigen reellwertigen Funktionen auf [a, b] definiert man die Maximumnorm ∥g∥ = max{|g(x)| | x ∈ [a, b]}. Ist dann G eine beliebige Teilmenge von C[a, b], so lautet die Aufgabe der gleichmäßigen Approximation: Man finde ein gfG mit der Eigenschaft, daß \begin{eqnarray}\Vert f-gf\Vert =\inf \{\Vert f-g\Vert \space \space |g\in G\}.\end{eqnarray}

Die Funktion gf heißt dann gleichmäßig beste Approximation von f.

Ist G ein endlichdimensionaler Unterraum von C[a, b], so kann f bezüglich G gleichmäßig approximiert werden. Für beliebige Teilmengen oder auch Unterräume G kann nicht immer eine gleichmäßig beste Approximation bestimmt werden. Ist beispielsweise G der Raum aller Polynome beliebigen Grades, so ist nach dem Approximationssatz von Weierstraß inf{∥fg∥ |gG} = 0. Eine nicht-polynomiale stetige Funktion f besitzt daher keine gleichmäßig beste Approximation bezüglich G (Approximationstheorie).

[1] Meinardus, G.: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung. Springer-Verlag, Heidelberg, 1964.
[2] Müller, M.: Approximationstheorie. Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden, 1978.
[3] Powell, M.J.D.: Approximation Theory and Methods. Cambridge University Press, 1981.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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