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Lexikon der Mathematik: beste Approximation

optimale Annäherung eines Elementes f des normierten Raumes R durch eine Teilmenge VR. υ* ∈ V heißt beste Approximation an f, wenn für alle υV gilt

\begin{eqnarray}\Vert \upsilon * -f\Vert \le \Vert \upsilon -f\Vert .\end{eqnarray}

Die Zahl ǁυ* − fǁ bezeichnet man als Minimalabweichung von f bezüglich V.

Ist V ein endlich-dimensionaler Teilraum von R, so ist die Existenz der besten Approximation υ* stets gesichert, während jedoch für das Vorliegen von Eindeutigkeit zusätzliche Forderungen an die Struktur von R bzw. V gestellt werden müssen. Das wichtigste Beispiel für das Vorliegen einer eindeutig bestimmten besten Approximation wird durch die polynomiale Approximation gegeben.

Das Problem der besten Approximation tritt meist bei der Approximation von Funktionen auf und ist die Keimzelle der gesamten Approximationstheorie.

[1] Meinardus, G.: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung. Springer-Verlag, Heidelberg, 1964.
[2] Müller, M.: Approximationstheorie. Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden, 1978.
[3] Powell, M.J.D.: Approximation Theory and Methods. Cambridge University Press, 1981.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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