Grenzkurve, für ein dynamisches System (M, G, Φ) ein geschlossener Orbit γ ⊂ M, falls ein Punkt x ∉ γ existiert so, daß für seine α-Limesmenge γ ⊂ α(x) gilt; genauer heißt γ dann α-Grenzzykel. γ heißt ω-Grenzzykel, falls ein Punkt x ∉ γ existiert so, daß für seine ω-Limes-menge γ ⊂ ω(x) gilt.

Grenzzykel sind unter geschlossenen Orbits ausgezeichnet:

Sei ein dynamisches System (M, G, Φ) gegeben und ein ω-Grenzzykel γ ⊂ M. Dann existiert ein Punkt x ∉γ in M so, daß gilt: \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to \infty }\,d(\{{\Phi }_{t}(x)\},\,\gamma )=0,\end{eqnarray}

wobei d(·, ·) die Abstandsfunktion zwischen Mengen bezeichnet. Analoges gilt bei einem α-Grenzzykel für den Limes t →∞.

[1] Hirsch, M.W.; Smale, S.: Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press, Inc. Orlando, 1974.