homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung \begin{eqnarray}{u}^{^{\prime\prime} }+P(x)u=0\quad \space \text{mit}\space \space P(x+2\pi )=P(x).\end{eqnarray}

Es existieren immer partikuläre Lösungen, die quasiperiodisch sind im Sinne von \begin{eqnarray}u(x+2\pi )=\sigma u(x)\quad \mathrm{mit}\space \sigma ={e}^{2\pi \mu }=const\end{eqnarray} mit dem charakteristischen Exponenten μ. Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form \begin{eqnarray}u(x)={e}^{\mu x}\phi (x)\quad \mathrm{mit}\quad \phi (x+2\pi )=\phi (x).\end{eqnarray}

Für μ = 0 oder μ = i ist die Lösung π-oder 2π-periodisch und eine Mathieu-Funktion erster Art.

Von besonderem Interesse ist die Frage nach der Stabilität der Lösungen und nach der Existenz periodischer Lösungen. Ljapunow zeigte:

Im reellen Fall existiert nach Einführung eines Parameters P(x) = λp(x) eine Folge \begin{eqnarray}\ldots \lt {\lambda }_{-1}\le {\lambda }_{0}=0\lt {\lambda }_{1}\le {\lambda }_{2}\lt \ldots \end{eqnarray}so, daß für λ ∈ (λ_2n, λ_2n+1) die Hillsche Differentialgleichung stabil und für λ ∈ [λ_2n−1, λ_2n+1] instabil ist.

Da periodische Prozesse zu den Grundvorgängen der Natur zählen, treten Differentialgleichungen dieser Art häufig in Physik und Technik auf ( lineare Differentialgleichung mit periodischen Koeffizienten).

[1] Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart, 1989.
[2] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 1976.