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Lexikon der Mathematik: Hodge-Struktur

folgende zueinander äquivalente Daten für einen endlich-dimensionalen reellen Vektorraum H:

  • Eine absteigende Filtration (Fp) p ∈ ℤ von H = Hℂ so, daß Fp = 0 für p ≫ 0 und \({F}^{p}\oplus \overline{{F}^{q+1}}={H}_{{\mathbb{C}}}\) für alle p, q mit p+q = k (Hodge-Filtration).
  • Eine Zerlegung \({H}_{{\mathbb{C}}}\space =\space \mathop{\oplus }\limits_{p+q=k}{H}^{p,q}\) mit \({H}^{qp}=\overline{{H}^{pq}}\) (Hodge-Zerlegung).
  • Eine über ℝ definierte rationale Darstellung der Gruppe GGl2, \begin{eqnarray}G=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & -b\\ b & a\end{array}\right)|{a}^{2}+{b}^{2}\ne 0\right\},\end{eqnarray} deren Einschränkung auf die Diagonale durch den Charakter \(\left (\begin{array}{c}a & 0\\ 0 & a\end{array}\right)\mapsto {a}^{k}\) gegeben ist.
  • Genauer nennt man diese Daten auch reelle Hodge-Struktur vom Gewicht k.

    Die Korrespondenz zwischen Hodge-Filtration und Hodge-Zerlegung wird gegeben durch \begin{array}{l}{H}^{pq}={F}^{p}\cap \overline{{F}^{q}}\space \space (p+q=k),\\ {F}^{p}=\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}r+s=k\\ r\ge p\end{array}}{H}^{r,s}.\end{array}

    Die Korrespondenz zwischen Hodge-Zerlegung und Darstellung wird gegeben durch Hpq = Eigenraum zum Charakter \({z}^{p}{\bar{z}}^{q}:G({\mathbb{R}})\to {{\mathbb{C}}}^{* }\) (mit \(z \left (\begin{array}{c}a & -b\\ b & a\end{array}\right)= a+ib\), \(\bar {z} \left (\begin{array}{c}a & -b\\ b & a\end{array}\right)= a-ib\)).

    Reelle Hodge-Strukturen vom Gewicht k, k′ auf reellen Vektorräumen H, H′ induzieren Hodge-Strukturen vom Gewicht k + k′, k′ − k auf HH′, Hom (H, H′), wie man am einfachsten über die Definitionen (iii) sieht.

    Der Operator C auf H, der der Matrix \(\left (\begin{array}{c}0 & -1\\ 1 & 0\end{array}\right)\) entspricht, heißt der Weil-Operator der Hodge-Struktur.

    Ein polarisierte Hodge-Struktur vom Gewicht k ist eine reelle Hodge-Struktur H, die zusätzlich mit einem Gitter HH (endlich erzeugte Untergruppe mit \({H}_{{\mathbb{Z}}}\otimes {\mathbb{R}}\simeq H\)) versehen ist, zusammen mit einer Bilinearform Q : HH → ℤ, die folgenden Bedingungen genügt:

    (R0) Q ist symmetrisch, wenn k gerade bzw. schiefsymmetrisch, wenn k ungerade ist.

    (R1) Fp und Fk−p+1 sind zueinander orthogonal (bez. der ℂ-linearen Fortsetzung von Q).

    (R2) \(Q(C\bar{\alpha },\space \space \alpha )\gt 0\), wenn α ≠ 0.

    Polarisierte Hodge-Strukturen vom Gewicht 1 entsprechen den polarisierten abelschen Varietäten H/H, da H durch C mit einer komplexen Struktur versehen wird und Q Imaginärteil einer Riemannschen Form ist (R0, R1,R2 entsprechen den Riemannschen Periodenrelationen).

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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