folgende zueinander äquivalente Daten für einen endlich-dimensionalen reellen Vektorraum H:

Genauer nennt man diese Daten auch reelle Hodge-Struktur vom Gewicht k.

Die Korrespondenz zwischen Hodge-Filtration und Hodge-Zerlegung wird gegeben durch \begin{array}{l}{H}^{pq}={F}^{p}\cap \overline{{F}^{q}}\space \space (p+q=k),\\ {F}^{p}=\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}r+s=k\\ r\ge p\end{array}}{H}^{r,s}.\end{array}

Die Korrespondenz zwischen Hodge-Zerlegung und Darstellung wird gegeben durch H^pq = Eigenraum zum Charakter \({z}^{p}{\bar{z}}^{q}:G({\mathbb{R}})\to {{\mathbb{C}}}^{* }\) (mit \(z \left (\begin{array}{c}a & -b\\ b & a\end{array}\right)= a+ib\), \(\bar {z} \left (\begin{array}{c}a & -b\\ b & a\end{array}\right)= a-ib\)).

Reelle Hodge-Strukturen vom Gewicht k, k′ auf reellen Vektorräumen H, H′ induzieren Hodge-Strukturen vom Gewicht k + k′, k′ − k auf H ⊗_ℝH′, Hom_ℝ (H, H′), wie man am einfachsten über die Definitionen (iii) sieht.

Der Operator C auf H, der der Matrix \(\left (\begin{array}{c}0 & -1\\ 1 & 0\end{array}\right)\) entspricht, heißt der Weil-Operator der Hodge-Struktur.

Ein polarisierte Hodge-Struktur vom Gewicht k ist eine reelle Hodge-Struktur H, die zusätzlich mit einem Gitter H_ℤ ⊂ H (endlich erzeugte Untergruppe mit \({H}_{{\mathbb{Z}}}\otimes {\mathbb{R}}\simeq H\)) versehen ist, zusammen mit einer Bilinearform Q : H_ℤ ⊗ H_ℤ → ℤ, die folgenden Bedingungen genügt:

(R0) Q ist symmetrisch, wenn k gerade bzw. schiefsymmetrisch, wenn k ungerade ist.

(R1) F_p und F^k−p+1 sind zueinander orthogonal (bez. der ℂ-linearen Fortsetzung von Q).

(R2) \(Q(C\bar{\alpha },\space \space \alpha )\gt 0\), wenn α ≠ 0.

Polarisierte Hodge-Strukturen vom Gewicht 1 entsprechen den polarisierten abelschen Varietäten H/H_ℤ, da H durch C mit einer komplexen Struktur versehen wird und Q Imaginärteil einer Riemannschen Form ist (R0, R1,R2 entsprechen den Riemannschen Periodenrelationen).