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Lexikon der Mathematik: Integration unbeschränkter Funktionen

nahelie-gende Erweiterung der Integration nach Riemannfür gewisse unbeschränkte Funktionen.

Das „eigentliche” Riemann-Integral \(\mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}f(x)dx\) istnur für den Fall definiert, daß das Integrationsinter-vall [a, b] und der Integrand f auf [a, b] beschränktsind. Der Wunsch, dem Symbol \(\mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}f(x)dx\) auchfür unbeschränkte Integrationsintervalle oder un-beschränkte Integranden in gewissen Fällen eine Bedeutung zukommmen zu lassen, führt ganz allge-mein zu uneigentlichen Integralen. Ein Beispiel:Das „Integral” \(\mathop{\mathop{\int }\limits^{1}}\limits_{0}\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}\) existiert – als eigent-liches Riemann-Integral – nicht, da der Integrand (bei 1) unbeschränkt ist. Für 0 < a < 1 existiertaber \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{a}}\limits_{0}\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}dx=\arcsin a-\arcsin 0=\arcsin a.\end{eqnarray} Die rechte Seite strebt gegen \(\frac{\pi }{2}\) für a → 1. Es liegtdann nahe, den Integralbegriff so zu erweitern, daß \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{1}}\limits_{0}\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}dx=\frac{\pi }{2}\end{eqnarray} gilt. Geometrisch bedeutet dies, daß auch speziellen unbeschränkten Flächen ein Flächeninhalt zugeordnet werden kann. Auch bei Integration über einen Bereich M ⊆ ℝn nähert man im Fall einer unbeschränkten Funktion f : M → ℝ den Integrationsbereich M durch aufsteigende Mengen MkM an, auf denen f beschränkt ist, und erhält gemäß Gebietskonvergenz das Integral \(\mathop{\int }\limits_{M}f(x)dx\) als Grenzwert der Integrale \(\mathop{\int }\limits_{{M}_{k}}f(x)dx\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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