lautet:

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und (z_k) eine Folge paarweise verschiedener Punkte in D, die in D keinen Häufungspunkt besitzt. Weiter sei jedem z_k eine Zahl m(k) ∈ ℕ₀und Zahlen w_0,k, w_1,k,…,w_m(k),k ∈ ℂ zugeordnet. Dann exisitiert eine in D holomorphe Funktion f derart, daß f⁽ⁿ⁾ (z_k) = w_n,k für alle n = 0, 1,…,m(k) und k ∈ ℕ.

Ist (z_k) wie im obigen Satz gewählt, so existiert insbesondere zu jeder Folge (w_k) in ℂ eine in D holomorphe Funktion f mit f(z_k) = w_k für alle k ∈ ℕ. Falls die Folge (w_k) beschränkt ist, so stellt sich die Frage, ob auch die Funktion f beschränkt gewählt werden kann. Im Spezialfall D = \({\mathbb{E}}\) = {z ∈ ℂ : |z| < 1} wurde diese Frage von Carleson geklärt. Zur Formulierung des Ergebnisses ist folgende Definition notwendig. Eine Folge (z_k) in \({\mathbb{E}}\) heißt gleichmäßig separiert, falls eine Konstante δ > 0 existiert mit \begin{eqnarray}\mathop{\prod ^{\infty }}\limits_{\mathop{j=1}\limits_{j\ne k}\\}\left|\frac{{z}_{k}-{z}_{j}}{1-{\bar{z}}_{j}{z}_{k}}\right|\ge \delta \end{eqnarray} für alle k ∈ ℕ. Eine solche Folge erfüllt dann insbesondere die Bedingung \(\begin{eqnarray}\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }(1-|{z}_{k}|)\lt \infty \end{eqnarray}\). Damit gilt folgender Satz.

Es sei (z_k) eine Folge paarweise verschiedener Punkte in \({\mathbb{E}}\). Dann sind folgende beiden Aussagen äquivalent:

1. (a) Zu jeder beschränkten Folge (w_k) in ℂ existiert eine in \({\mathbb{E}}\)beschränkte, holomorphe Funktion f mit f(z_k) = w_k für alle k ∈ ℕ.
2. (b) Die Folge (z_k) ist gleichmäßig separiert.

Eine Folge (z_k) in \({\mathbb{E}}\) ist sicher dann gleichmäßig separiert, wenn eine Konstante c ∈ (0, 1) existiert mit \begin{eqnarray}1-|{z}_{k}+1|\le c(1-|{z}_{k}|)\end{eqnarray} für alle k ∈ ℕ. Gilt zusätzlich 0 ≤ z₁ < z₂ < z₃ < …, so ist die diese Bedingung auch notwendig. Zum Beispiel ist die Folge (z_k) mit z_k = 1 − c^k für k ∈ ℕ und c ∈ (0,1) gleichmäßig separiert.