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Lexikon der Mathematik: Ionescu-Tulcea, Satz von

folgender ohne topolo- gische Voraussetzungen auskommender Satz über die Fortsetzung von Maßen auf das Produkt abzählbar vieler meßbarer Räume und die Existenz zufälliger Folgen.

Es sein, \({\mathfrak{A}}\)n)n ∈ ℕ eine Folge beliebiger meßbarer Räume und Ω = \(\Omega =\prod _{n\ge 1}{\Omega }_{n}\) sowie \({\mathfrak{A}}\) = \({\otimes }_{n\ge 1}{{\mathfrak{A}}}_{n}.\). Weiterhin mögen auf1, \({\mathfrak{A}}\)1) das Wahrscheinlich keitsmaß P1und für jedes n > 1 ein Wahrscheinlichkeitskern Kn vom Produkt \((\displaystyle {\prod }_{i=1}^{n-1}{\Omega }_{i},{\otimes }_{i=1}^{n-1}{{\mathfrak{A}}}_{i})\)nachn, \({\mathfrak{A}}\)n) gegeben sein. Dann existiert auf (Ω, \({\mathfrak{A}}\)) genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß P, so daß die Gleichung \begin{eqnarray}\begin{array}{l}P({\{{\omega }_{j})}_{j\ge 1}\in \Omega :{\omega }_{1}\in {A}_{1},\ldots, {\omega }_{n}\in {A}_{n}\})\\\qquad ={P}_{n}({A}_{1}\times \ldots \times {A}_{n})\end{array}\end{eqnarray}für jedes n ∈ ℕ und alle Ai ∈ \({\mathfrak{A}}\)i, i = 1,..., n erfüllt ist, wobei die rechte Seite durch \begin{eqnarray}{P}_{n}({A}_{1}\times \ldots \times {A}_{n}):=\mathop{\int }\limits_{{A}_{1}}\mathop{\int }\limits_{{A}_{2}}\ldots \mathop{\int }\limits_{{A}_{n}}{k}_{n}({\omega }_{1},\ldots {\omega }_{n-1},d{\omega }_{n})\ldots {k}_{2}({\omega }_{1},d{\omega }_{2}){P}_{1}(d{\omega }_{1})\end{eqnarray}definiert ist. Weiterhin existiert eine Folge (Xn)n∈ℕ von auf \((\Omega, {\mathfrak{A}},P)\)definierten Zufallsvariablen mit \begin{eqnarray}P(\{\omega \in \Omega :{X}_{1}(\omega )\in {A}_{1},\ldots, {X}_{n}(\omega )\in {A}_{n}\})={P}_{n}({A}_{1}\times \ldots \times {A}_{n})\end{eqnarray}für alle n ∈ ℕ und alle Ai ∈ \({{\mathfrak{A}}}_{i}\), i = 1,…,n.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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