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Lexikon der Mathematik: Jordan-meßbare Menge

zentraler Begriff in der Maßtheorie.

Es seien Ij, j = 1,…,n, Intervalle in ℝd und |Ij| ihr Volumen. Eine Menge A ⊆ ℝd heißt Jordan-meßbar, wenn sie beschränkt ist, und wenn sup \(|{I}_{1}|+\ldots +|{I}_{n}||{\mathop{I}\limits^{\circ }}_{i}\mathop{\cap }\limits^{}{\mathop{I}\limits^{\circ }}_{j}=\varnothing \) für alle ij, IjA für alle j, n ∈ ℕ} = \(\inf \{|{I}_{1}|+\ldots +|{I}_{n}||\mathop{\mathop{\bigcup ^{n}_{j=1}}}{I}_{j}\supseteq A,n\in {\mathbb{N}}\}=:\mu (A)\).

μ(A) heißt dann Jordan-Inhalt oder Jordan-Maß der Jordan-meßbaren Menge A. Das Mengensystem \({\mathcal{R}}\) der Jordan-meßbaren Teilmengen von ℝd ist ein Mengenring in ℝd und μ ein Inhalt auf \({\mathcal{R}}\).

Falls A ⊆ ℝd beschränkt ist, ist A genau dann Jordan-meßbar, falls für das Lebesgue-Maß λ \begin{eqnarray}\lambda \mathop{A}\limits^{\circ }=\lambda (\bar{A})\end{eqnarray} gilt. In diesem Fall ist μ(A) = λ(Å). Jedoch ist nicht jede beschränkte Lebesgue-meßbare Menge Jordan-meßbar.

Falls f : [a, b] → ℝ+ eine reelle Funktion ist, und \begin{eqnarray}0(f):=\{(x,y)\in {{\mathbb{R}}}^{2}|x\in [a,b],0\le y\le f(x)\}\end{eqnarray} die Ordinatenmenge von f bezeichnet, dann ist f Riemann-integrierbar genau dann, wenn 0(f) Jordan-meßbar ist. In diesem Fall gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\mu (0(f)).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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