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Lexikon der Mathematik: kanonische Abbildung von Kurven

Abbildung glatter algebraischer Kurven in den zugehörigen projektiven Raum.

Für komplette glatte algebraische Kurven X vom Geschlecht g ≥ 2 ist der Raum der holomorphen 1-Formen \({H}^{0}(X,{\Omega }_{X/k}^{1})\)g-dimensional, und die Formen haben keine gemeinsame Nullstelle auf X.

Daher erhält man einen Morphismus \begin{eqnarray}\varphi :X\to {\mathbb{P}}\left({H}^{0}(X,{\Omega }_{X/k}^{1})\right)\cong {{\mathbb{P}}}^{g-1}.\end{eqnarray}

In Koordinaten ist das die Abbildung \begin{eqnarray}x\mapsto ({\varphi }_{0}(x):\cdots :{\varphi }_{g-1}(x)),\end{eqnarray} wenn φ0, …, φg-1 eine Basis von \({H}^{0}(X,{\Omega }_{X/k}^{1})\) ist.

Für g = 2 ist dies eine Doppelüberlagerung von ℙ1 mit 6 Verzweigungspunkten, und für g ≥ 3 ist dies im allgemeinen eine abgeschlossene Einbettung, in speziellen Fällen ist das Bild jedoch eine glatte rationale Kurve, also ℙ1 ⊂ ℙg−1 (eingebettet durch die (g − 1)-te Veronese-Einbettung), und φ ist eine Doppelüberlagerung von ℙ1 mit (2g + 2) Verzweigungspunkten. Solche Kurven heißen hyperelliptisch, ein affines Modell hyperelliptischer Kurven wird durch die ebenen Kurven mit einer Gleichung der Form y2 = f(x), wobei f(x) ein Polynom vom Grad 2g + 1 (ohne mehrfache Nullstellen) ist, gegeben.

Als Basis von \({H}^{0}(X,{\Omega }_{X/k}^{1})\) kann man z. B. die Formen \begin{eqnarray}{\varphi }_{j}={x}^{j}\frac{dx}{y},\quad j=0,1,\mathrm{\ldots },g-1,\end{eqnarray} wählen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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