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Lexikon der Mathematik: Kapillarfläche

eine Fläche konstanter mittlerer Krümmung, die sich als Oberfläche einer Flüssigkeit bei Abwesenheit der Schwerkraft in einem zylinderförmigen Behälter unter Einfluß der Oberflächenspannung und der Adhäsion an den Behälterwänden herausbildet.

Der Zylinder sei als Menge aller Punkte (x, y, z) 3 gegeben, deren Projektion in die xy-Ebene ein abgeschlossenes Gebiet G ⊂ ℝ2 ausfüllen. Die Randkurve \({\mathcal{K}}\) von G sei mit Ausnahme endlich vieler Ecken glatt. Dann kann man die Kapillarfläche \( {\mathcal F} \) durch eine auf G definierte differenzierbare Funktion z(x, y) beschreiben. Das Einheitsnormalenvektorfeld \begin{eqnarray}u(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{1+{z}_{x}^{2}+{z}_{y}^{2}}}\left(\begin{array}{c}{z}_{x}\\ {z}_{y}\\ 1\end{array}\right)\end{eqnarray} von \( {\mathcal F} \) ist als ein von z unabhängiges Vektorfeld auf dem gesamten von dem Zylinder G × ℝ ⊂ ℝ3 ausgefüllten Raumteil anzusehen.

Setzt man voraus, daß \({\mathcal{K}}\) eine reguläre Kurve ist, so existiert das Einheitsnormalenvektorfeld n des Zylindermantels, und die durch die Oberflächenspannung und die Adhäsion ausgeübten Kräfte sind genau dann im Gleichgewicht, wenn die Gleichungen

div u = 2h in G und ⟨n, u⟩ = cos γ in \({\mathcal{K}}\)

gelten. Darin sind h und der Kontaktwinkel γ gewisse Konstanten, die von den physikalischen Gegebenheiten abhängen. Die Bedingungen (1) bilden ein nichtlineares elliptisches Randwertproblem für die Funktion z, in das die Größe div u gerade als mittlere Krümmung von \( {\mathcal F} \) eingeht.

Zur Darstellung und Untersuchung von Kapillarflächen dienen Raumfahrtexperimente. Ingenieure und Physiker studieren z. B. den Kontaktwinkel γ für Randkurven mit Singularitäten. An Ecken von \({\mathcal{K}}\) kann die Lösung z(x, y) von (1) singulär werden. Solche Singularitäten führen dazu, daß der Flüssigkeitsspiegel in der Nähe von Ecken an den Wänden sehr hoch steigt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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