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Lexikon der Mathematik: Koebe-Faberscher Verzerrungssatz

lautet: Es sei f eine in 𝔼 = {z ∈ ℂ : |z| Γ 1} schlichte Funktion mit f(0) = 0 und f ′(0) = 1. Dann gelten für z ∈ 𝔼 die folgenden Ungleichungen: \begin{array}{l}\frac{1-|z|}{{(1+|z|)}^{3}}\,\le \,|{f}{^{\prime} }(z)|\,\le \,\frac{1+|z|}{{(1-|z|)}^{3}},\\ \frac{\,|z|}{{(1+|z|)}^{2}}\,\le\,|f(z)|\,\le\,\frac{\,|z|}{{(1-|z|)}^{2}},\\ \frac{1-|z|}{1+|z|}\,\le \,\left|z\frac{{f}{^{\prime} }(z)}{f(z)}\right|\,\le \,\frac{1+|z|}{1-|z|}.\end{array}

In jeder der sechs Ungleichungen gilt für ein z = z0 ≐ 0 das Gleichheitszeichen genau dann, wenn f eine geeignete Rotation der Koebe-Funktion k ist, d. h. f(z) = ek(ez) mit einem ϕ ∈ ℝ. Dabei hängt ϕ von z0 ab.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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