Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: kohomologe Dimension

meist bezeichnet mit dimG(X), Kennzahl eines topologischen Raums X in Bezug auf die Koeffizientengruppe G (z. B. G = ℤ). Die kohomologe Dimension ist definiert als die maximale Zahl n ∈ ℕ0 derart, daß es eine abgeschlossene Teilmenge A von X gibt mit relativer Kohomologiegruppe Hn(X, A; G) ≠ 0.

Im Falle einer algebraischen Varietät X der Dimension n über einem Körper 𝕂 wird die kohomologe Dimension cd(X) definiert als die kleinste Zahl k derart, daß die Garbenkohomologiegruppe Hk+1(X, F) = 0 ist für alle Garben abelscher Gruppen F. Betrachtet man nur kohärente Garben, so erhält man die kohärente kohomologische Dimension cohcd(X). Es gilt immer \begin{eqnarray}\text{cohcd}(X)\le \text{cd}(X)\le n=\dim X.\end{eqnarray}

Von Serre wurde gezeigt, daß cohcd(X) = 0 genau dann gilt, wenn X eine affine Varietät ist.

Der Satz von Lichtenbaum besagt, daß cohcd(X) = n genau dann gilt, wenn X eigentlich über 𝕂 ist.

Beispiele eigentlicher Varietäten werden durch die projektiven Varietäten gegeben.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos