Verknüpfungen zwischen T-Normen und T-Konormen, die das menschliche Aggregationsverhalten adäquater modellieren als die einfachen Fuzzy-Operatoren.

Bekannte kompensatorische Operatoren werden im folgenden angegeben:

Das arithmetische Mittel zweier Fuzzy-Mengen à und &Btilde; auf X, geschrieben \(\frac{{\tilde {A\,}\, + \,\tilde {B\,}}}{2}\), ist definiert durch die Zugehörigkeitsfunktion \begin{eqnarray}{\mu _{\frac{{A\, + \,B}}{2}}}\,\left( x \right) = \,\frac{1}{2}\,\left( {{\mu _A}\left( x \right)\, + \,{\mu _B}\left( x \right)} \right)\,\,\,{\text{f}}\mathrm{\ddot{u}}{\text{r}}\,{\text{alle}}\,x\, \in \,X\,.\end{eqnarray}

Das geometrische Mittel zweier Fuzzy-Mengen à und &Btilde; auf X, geschrieben \(\sqrt {\tilde A\,.\,\tilde B} \), ist definiert durch die Zugehörigkeitsfunktion \begin{eqnarray}{\mu _{\sqrt {A\,.\,B} }}\left( x \right)\, = \,\sqrt {{\mu _A}\,\left( x \right)\,.\,{\mu _B}\left( x \right)}\,\,\,{\text{f}}\mathrm{\ddot{u}}{\text{r}}\,{\text{alle}}\,x\, \in \,X\,.\end{eqnarray}

Die ε-Verknüpfung zweier Fuzzy-Mengen à und &Btilde; auf X, geschrieben \(\tilde A\,\left\| {_\varepsilon } \right.\tilde B\) ist definiert durch die Zugehörigkeitsfunktion \begin{eqnarray}{\mu _{A\| {_\varepsilon } B}}( x ) = ( {1 – \varepsilon } ).\min ( {{\mu _A}( x ),\,{\mu _B}( x )} ) + \varepsilon \cdot \max ( {{\mu _A}( x ),\,{\mu _B}( x )} )\end{eqnarray} für alle x ∈ X und einen beliebigen Kompensationsgrad ε ∈ [0, 1].

Die γ -Verknüpfung zweier Fuzzy-Mengen à und &Btilde; auf X, geschrieben \(\tilde A\,{ \cdot _\gamma }\tilde B\), ist definiert durch die Zugehörigkeitsfunktion \begin{eqnarray}\begin{array}{lcr}{\mu _{A{ \cdot _\gamma }B}}( x ) &=& {( {{\mu _{A \cdot B}}( x )} )^{1 – \gamma }} \cdot {( {{\mu _{A + B}}( x )} )^\gamma } \hfill \\ & = &( {{\mu _A}( x )}. \cdot {. {{\mu _B}( x )} )^{1 – \gamma }} \cdot {( {{\mu _A}( x ) + {\mu _B}( x ) – {\mu _A}( x ) \cdot {\mu _B}( x )} )^\gamma } \hfill \end{array} \end{eqnarray} für alle x ∈ X und einen beliebigen Kompensationsgrad γ ∈ [0, 1].

Die γ-Verknüpfung der Fuzzy-Mengen \begin{eqnarray}\tilde {{A_i}} = \{ \left( {x,{\mu _i}\left( x \right)} \right)\left| {x \in X} \right.\},\,\,\, i = 1,\ldots, m\end{eqnarray} ist definiert durch die Zugehörigkeitsfunktion \begin{eqnarray}{\mu _ \cdot }_\gamma \left( x \right) = {\left( {\prod\limits_{i\, = \,1}^m {{\mu _i}\left( x \right)} } \right)^{1 – \gamma }}\, \cdot {\left( {1\, – \,\prod\limits_{i\, = \,1}^m {\left( {1\, – \,{\mu _i}\left( x \right)} \right)} \,} \right)^\gamma }\end{eqnarray} für alle x ∈ X und einen beliebigen Kompensations-parameter γ ∈ [0, 1].

Die \(\tilde {und}\,\) der Fuzzy-Mengen \begin{eqnarray}\tilde {{A_i}} = \{( {x,{\mu _i}( x )} ) {x \in X} \},\,\,\,i = 1,\ldots,m\end{eqnarray} ist definiert durch die Zugehörigkeitsfunktion \begin{eqnarray}\mu {_{\widetilde {und}}}\left( x \right) = {{\delta }} \ldots {\text{min}}\left( {{\mu _1}\left( x \right),\ldots,{\mu _m}\left( x \right)} \right) + \left( {1 – {{\delta }}} \right) \ldots \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {{\mu _i}\left( x \right)}\end{eqnarray} für alle x ∈ X.

Die \(\widetilde {order}\) der Fuzzy-Mengen \begin{eqnarray}{\tilde A_i} = \left\{ {\left( {x,\;{\mu _i}\left( x \right)} \right)|x \in X} \right\}\,\,\,\,i = 1,\ldots, m\end{eqnarray} ist definiert durch die Zugehörigkeitsfunktion \begin{eqnarray}\mu {\,_{\widetilde {order}}}\,\left( x \right)\, = {\text{\delta }}\, \cdot \,{\text{max}}\,\left( {{\mu _1}\left( x \right),\ldots\,,\,{\mu _m}\left( x \right)} \right)\, + \,\left( {1\, – \,{\text{\delta }}} \right)\, \cdot \,\frac{1}{m}\,\sum\limits_{i = 1}^m {{\mu _i}\left( x \right)} \,{\text{f}}\mathrm{\ddot{u}}{\text{r}}\,{\text{alle}}\,x\, \in \,X\,.\end{eqnarray} für alle x ∈ X.