Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: komplex-projektiver Raum

Beispiel einer komplexen Mannigfaltigkeit.

Auf ℂn+1 \ 0} werde folgende Relation erklärt: ζ1ζ2 genau dann, wenn es ein t ∈ ℂ \{0} mit ζ2 = t · ζ1 gibt. Offensichtlich ist „∼“ eine Äquivalenzrelation, und man bezeichnet mit [ζ0] = {ζ = 0 : t ∈ ℂ \{ 0}}. die Äquivalenzklasse von ζ0 ∈ ℂn+1 \ {0}.

Die Menge \begin{eqnarray}{\mathbb{P}}^{n}:=\{[\zeta \in {{\mathbb{C}}}^{n+1}\backslash \{0\}]\}\end{eqnarray}

nennt man den n-dimensionalen komplex-projektiven Raum, die Abbildung π : ℂn+1 \ {0} → ℙn mit {π(ζ) := [ζ ] bezeichnet man als die natürliche Projektion. π ist eine surjektive Abbildung, und man versieht ℙn mit der feinsten Topologie, für die π stetig wird. Eine Menge U ⊂ ℙn ist also genau dann offen, wenn π−1(U) ⊂ ℂn+1 \{0} offen ist.

Es sei, mit ζ = (z0, …, zn) ∈ ℂn+1, \begin{eqnarray}{U}_{i}:=\{[\zeta ]:{z}_{i}\ne 0\}\subset {\mathbb{P}}^{n}.\end{eqnarray}

Dann erhält man eine Bijektion φi : Ui → ℂn durch \begin{eqnarray}{\varphi }_{i}([{z}_{0},\ldots,{z}_{n}]):=\left(\frac{{z}_{0}}{{z}_{i}},\ldots \frac{{z}_{i}-1}{{z}_{i}},\frac{{z}_{i+1}}{{z}_{i}},\ldots \frac{{z}_{n}}{{z}_{i}}\right).\end{eqnarray}

Die Übergangsabbildungen \({\phi }_{j}\circ {\phi }_{i}^{-1}\) sind biholomorph. Die „Koordinaten“ ζ = [z0, …, zn] nennt man die homogenen Koordinaten auf dem ℙn, die Koordinaten, die durch die φi gegeben sind, die euklidischen Koordinaten. ℙn ist kompakt, da es eine stetige surjektive Abbildung von der Einheitssphäre im ℂn+1 auf den ℙn gibt. ℙ1 ist gerade die Riemannsche Sphäre ℂ∪{∞}. Man erhält den folgenden Satz:

Der n-dimensionale komplex-projektive Raum ist eine kompakte n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, und die natürliche Projektion π : ℂn+1 \ {0} → ℙnist holomorph.

[1] Griffiths,P.; Harris, J.: Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons New York/Toronto, 1978.
[2] Kaup, B.; Kaup, L.: Holomorphic Functions of Several Variables. Walter de Gruyter Berlin/New York, 1983.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos