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Lexikon der Mathematik: Kreiskettenverfahren

eine wichtige Methode zur analytischen Fortsetzung.

Es sei a = z0 ∈ ℂ und D0 ⊂ C eine offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt z0 und Radius r0 > 0. In D0 sei eine holomorphe Funktion in Form einer Potenzreihe \begin{eqnarray}{f}_{0}(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n},\ \ z\in {D}_{0}\end{eqnarray} gegeben. Weiter sei γ : [0, 1] → ℂ ein Jordan-Bogen mit Anfangspunkt a = γ (0) und Endpunkt b = γ (1) /∈ D0. Um festzustellen, ob f0 längs γ analytisch fortsetzbar ist, geht man wie folgt vor. Man wählt t1 ∈ (0, 1) derart, daß z1 = γ(t1) ∈ D0. Dann ist f0 in eine Potenzreihe um z1 entwickelbar. Diese erhält man durch Umentwicklung der Potenzreihe (1) \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{f}_{0}(z) & = & \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}[({z}_{1}-{z}_{0})+(z-{z}_{1}){]}^{n}\\ & = & \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{(}_{k}^{n}){({z}_{1}-{z}_{0})}^{n-k}{(z-{z}_{1})}^{k}\\ & = & \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }{(}_{k}^{n}){a}_{n}{({z}_{1}-{z}_{0})}^{n-k}){(z-{z}_{1})}^{k}.\end{array}\end{eqnarray}

Also gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{f}_{0}(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}^{(1)}{(z-{z}_{1})}^{n}\end{array}\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}{a}_{n}^{(1)}=\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }{(}_{n}^{k}){a}_{k}{({z}_{1}-{z}_{0})}^{k-n}.\end{eqnarray}

Die Entwicklung (2) gilt in der offenen Kreisscheibe um z1 mit Radius r0 −|z1z0|. Es kann der Fall eintreten, daß die Reihe (2) in einer größeren Kreisscheibe D1 um z1 mit Radius r1> r0 − |z1z0| konvergiert. Dann erhält man eine in D1 holomorphe Funktion f1 mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}{f}_{1}(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}^{(1)}{(z-{z}_{1})}^{n}, & z\in {D}_{1}.\end{array}\end{eqnarray}

Es gilt f1(z) = f0(z)für zD1D0, d. h. (f1, D1) ist eine analytische Fortsetzung von (f0, D0).

Ist b /∈D1, so wählt man t2 ∈ (t1, 1) derart, daß z2 = γ (t2) ∈ D1 ist, und wendet das obige Verfahren auf die Potenzreihe (3) an. Man stellt wieder fest, ob die Umentwicklung der Reihe (3) in einer Kreisscheibe D2 um z2 mit Radius r2 > r1 −|z2z1| konvergiert. So fährt man fort. Gelangt man nach endlich vielen Schritten (m Stück) zu einer Kreisscheibe Dm um zm = γ (tm) mit Radius rm und einer in Dm holomorphen Funktion \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}{f}_{m}(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}^{(m)}{(z-{z}_{m})}^{n}, & z\in {D}_{m}.\end{array}\end{eqnarray}

derart, daß bDm und (fj, Dj) eine analytische Fortsetzung von (fj−1, Dj−1), j = 1, …, m ist, so ist (f0, D0) längs γ analytisch fortsetzbar. Den Wert der analytischen Fortsetzung kann man durch Einsetzen von z = b in die Reihe (4) berechnen. Dieser ist unabhängig von der speziellen Wahl der Punkte z1, …, zm.

Ist umgekehrt (f0, D0) längs γ analytisch fortsetzbar, so ist es stets möglich, die Punkte z1, …, zm so zu wählen, daß das Verfahren zum Ziel führt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Kreiskettenverfahren
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Kreiskettenverfahren

Die Menge der Kreisscheiben D0, D1, …, Dm nennt man eine Kreiskette.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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