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Lexikon der Mathematik: Kreisteilungsgleichung

meist die spezielle Gleichung \begin{eqnarray}{z}^{n}=1,\end{eqnarray}

wobei n ∈ ℕ.

Die komplexen Lösungen dieser Gleichung sind die n-ten Einheitswurzeln ζk = e2kπi/n, k = 0, 1 …, n − 1. Sie liegen auf der Einheitskreislinie S1 ={ z ∈ ℂ : |z|= 1 } und bilden die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks. Daher kommt auch die Bezeichnung Kreisteilungsgleichung.

Aus dem gleichen Grunde nennt man das die Gleichung definierende Polynom zn manchmal auch Kreisteilungspolynom.

Manchmal, speziell in Algebra und Zahlentheorie, betrachtet man auch in etwas größerer Allgemeinheit das Polynom \begin{eqnarray}{\Phi }_{n}(X)=\mathop{\displaystyle \prod _{r=1}^{n}}\limits_{ggT(r,n)=1}(X-{\varsigma }^{r}),\end{eqnarray}

für n ∈ ℕ, das man ebenfalls als Kreisteilungspolynom bezeichnet. Hierbei ist ζ eine primitive n-te Einheitswurzel (d. h. ζn = 1, aber ζm ≠ 1 für 0 < m < n) und ggT(r, n) bezeichne den größ-ten gemeinsamen Teiler der Zahlen n und r. Dieses Polynom ist ein irreduzibles Polynom über dem Primkörper ℚ, bzw. 𝔽p mit nur einfachen Nullstellen. Die zugehörige Gleichung \begin{eqnarray}{\Phi }_{n}(\alpha )=0\end{eqnarray}

heißt dann ebenfalls (n-te) Kreisteilungsgleichung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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