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Lexikon der Mathematik: Lambertsche Reihe

eine unendliche Reihe der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}\frac{{z}_{n}}{1-{z}^{n}},\end{eqnarray}

wobei an ∈ ℂ und z ∈ 𝔼 = {z ∈ ℂ : |z| < 1}.

Ist eine solche Reihe normal konvergent in 𝔼, so gilt für z ∈ 𝔼 \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}\frac{{z}^{n}}{1-{z}^{n}}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}{z}^{n},\end{eqnarray}

wobei \begin{eqnarray}{A}_{n}:=\displaystyle \sum _{d|n}{a}_{d}.\end{eqnarray}

Dabei bedeutet d | n, daß d ∈ ℕ ein Teiler von n ist. Insbesondere gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{z}^{n}}{1-{z}^{n}}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }d(n){z}^{n},\end{eqnarray}

wobei d(n) die Anzahl der Teiler von n bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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