eine Integral-Transformation f ↦ Lf =: F für eine komplexwertige Funktion f ∈ L¹(0,+∞), gegeben durch

\begin{eqnarray}(Lf)(z):\text{nbsp}=\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-zt}f(t)dt.\end{eqnarray}

Man betrachte eine Funktion f mit folgenden Eigenschaften:

1. f ∈ L¹(0,+∞).
2. f(t) = 0 (t < 0).
3. Es existieren Konstanten K, a ∈ ℝ mit |f(t)| ≤ Ke_at (t ≥ 0).

Unter diesen Voraussetzungen ist F divergent für Re z < a und konvergent für Re z > a, wo sie sogar analytisch ist. Für Re z → ∞ gilt lim_z→∞F(z) = 0.

Schränkt man den Definitionsbereich der Laplace-Transformation auf Funktionen mit den Eigenschaften (1)–(3) ein, so ist dieser ein linearer Raum, und die Laplace-Transformation eine lineare Abbildung.

Ist b > a beliebig, dann ist die inverse Laplace-Transformation gegeben durch die Formel

\begin{eqnarray}\begin{array}\ll\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{c\to \infty }\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \underset{b-ic}{\overset{b+ic}{\int }}{e}^{zt}F(z)dz\\ =\left\{\begin{array}{ll}0 & (x\lt 0)\\ \frac{f(+0)}{2} & (x=0)\\ \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} & (x\gt 0).\end{array}\right.\end{array}\end{eqnarray}

Von Bedeutung sind folgende Rechenregeln: Differentiation:

\begin{eqnarray}(L{f}^{(n)})(z)={z}^{n}(Lf)(z)-\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{z}^{n-k}{f}^{(k-1)}(0)\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}{(L[f(t)])}^{(n)}(z)={(-1)}^{n}(L[{t}^{n}f(t)])(z).\end{eqnarray}

Die letzte Gleichung wird als Multiplikationssatz bezeichnet.

Integration:

\begin{eqnarray}\left(L\left[\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau \right]\right)(z)=\frac{(L[f(t)])(z)}{z}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}\displaystyle \underset{z}{\overset{\infty }{\int }}(Lf)(p)dp=\left(L\left[\frac{f(t)}{t}\right]\right)(z).\end{eqnarray}

Ähnlichkeitssatz: Für k ∈ ℝ, k > 0 gilt

\begin{eqnarray}(L[f(kt)])(z)=\frac{1}{k}(Lf)\left(\frac{z}{k}\right).\end{eqnarray}

Verschiebungssätze: Für τ ∈ ℝ, τ > 0 gelten

\begin{eqnarray}(L[f(t-\tau )])(z)={e}^{-z\tau }(L[f(t)])(z),\\ (L[f(t+\tau )])(z)={e}^{z\tau }(L[f(t)])(z)-\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}{e}^{z(\tau -s)}f(s)ds.\end{eqnarray}

Dämpfungssatz: Für α ∈ ℂ gilt

\begin{eqnarray}(L[{e}^{-\alpha t}f(t)])(z)=(L[f(t)])(z+\alpha ).\end{eqnarray}

Laplace-Transformation der Exponentialfunktion: Für α ∈ ℂ, n ∈ ℕ₀ gilt

\begin{eqnarray}\left(L\left[\frac{{t}^{n}}{n!}{e}^{\alpha t}\right]\right)(z)=\frac{1}{{(z-\alpha )}^{n+1}}.\end{eqnarray}

Die Laplace-Transformation ist besonders geeignet zum Lösen von Differentialgleichungen. Als Beispiel betrachten wir gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und Anfangswerten. Hierbei wird erst die Differentialgleichung mit Hilfe der Linearitäts- und der Differentiationsregel Laplace-transformiert, wodurch eine algebraische Gleichung entsteht. Die Lösung dieser transformierten Gleichung wird in Partialbrüche zerlegt und anschließend mit Hilfe der Formel (1) und der Faltung für die Laplace-Transformation zurücktransformiert. Die Laplace-Transformation kann auch zur Behandlung partieller Differentialgleichungen mit Rand- und Anfangsbedingungen angewendet werden.

Bisweilen findet eine Diskretisierung der Laplace-Transformation, die sog. diskrete Laplace-Transformation, Anwendung.

[1] Doetsch, G: Handbuch der Laplace-Transformation I–III. Birkhäuser Basel, 1950-1956.