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Lexikon der Mathematik: Lévy-Verteilung

auch L-Verteilung oder Verteilung aus der Klasse L, die im folgenden beschriebene Klasse von Grenzverteilungen.

Lévy-Verteilungen charakterisieren die Wahrscheinlichkeitsverteilungen, welche als Grenzverteilungen von Summen der Form

\begin{eqnarray}{S}_{n}=\frac{1}{{b}_{n}}({X}_{1}+\cdots +{X}_{n}-{a}_{n})\end{eqnarray}

auftreten können, wobei (Xn)n∈ℕ eine unabhängige Folge von auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierten, nicht notwendig identisch verteilten reellen Zufallsvariablen sowie (an)n∈ℕ und (bn)n∈ℕ geeignete Folgen reeller Zahlen mit bn > 0 für n ∈ ℕ bezeichnen.

Genauer besitzt eine auf (Ω, 𝔄, P) definierte reelle Zufallsvariable X mit Verteilungsfunktion F eine Lévy-Verteilung, wenn Folgen (Xn)n∈ℕ, (an)n∈ℕ und (bn)n∈ℕ wie oben existieren, so daß die Folge der Verteilungsfunktionen von Sn für n gegen Unendlich gegen F konvergiert und die Größen Xk/bn asymptotisch konstant sind, d. h. wenn für n, k ∈ ℕ reelle Konstanten cn,k existieren, so daß für alle ϵ > 0 die Beziehung

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }P\left(|\frac{{X}_{k}}{{b}_{n}}-{c}_{n,k}|\gt \varepsilon \right)=0\end{eqnarray}

gleichmäßig bezüglich k (k = 1, …, n) erfüllt ist.

Beispiele für Lévy-Verteilungen sind die stabilen Verteilungen. Die Lévy-Verteilungen sind unbegrenzt teilbar. Die Umkehrung dieser Aussage gilt allerdings nicht.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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