in der Riemannschen Geometrie die kovariante Ableitung eines Tensors v in Richtung eines Vektors a mit Komponenten aⁱ.

Ist v ein Tensor erster Stufe, also ein Vektor, und sind vⁱ die Komponenten von v, so ist die Lie-Ableitung

\begin{eqnarray}\rm{\unicode{x00A3}}_{a}{v}^{i}={\partial }_{k}{v}^{i}{a}^{k}-{v}^{k}{\partial }_{k}{a}^{i}.\end{eqnarray}

Für die Bestimmung der Isometrien einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist es sinnvoll, die Lie-Ableitung wie folgt auszunutzen: Das Vektorfeld ξ ist genau dann ein Killingvektorfeld, wenn £_ξ g_ij = 0 ist, wobei g_ij der metrische Tensor ist, und die Tangentialvektoren an eine einparametrige Schar von Isometrien sind gerade die Killingvektoren.