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Lexikon der Mathematik: Lie-Algebra einer Lie-Gruppe

jeder Lie-Gruppe eindeutig zugeordnete Lie-Algebra.

Es gilt auch die Umgekehrung: Zwei Lie-Gruppen sind genau dann derselben Lie-Algebra zugeordnet, wenn sie lokal isomorph sind, d. h. in einer Umgebung des neutralen Elements isomorph sind. Dabei wird dem Kommutator der Lie-Gruppe das Lie-Produkt der Lie-Algebra entsprechend zugeordnet. Folglich sind kommutative Lie-Gruppen genau diejenigen, in deren zugeordneter Lie-Algebra das Lie-Produkt identisch gleich Null ist.

Für die reellen Lie-Algebren niedriger Dimension n ergibt sich folgendes Bild:

n = 1: Es gibt nur eine Lie-Algebra, und das Lie-Produkt ist identisch Null. Dem entsprechen zwei Lie-Gruppen, die additiven Gruppe der reellen Zahlen (ℝ, +), und die Gruppe U(1), also (ℝ, + mod 2π). Letztere wird auch als SO(2), die Drehgruppe der Ebene, interpretiert.

n = 2: Außer der kommutativen Lie-Gruppe gibt es lokal nur eine weitere Lie-Gruppe. Sie besitzt folgende Eigenschaft: Eine linksinvariante Metrik erzeugt die Fläche konstanter negativer Krümmung, also die Lobatschewski-Geometrie.

n = 3: Diese Lie-Algebren sind nach Bianchi in die 9 Bianchi-Typen I bis IX klassifiziert, wobei die Typen VI und VII jeweils einparametrige Scharen von Lie-Algebren darstellen. Die Zuordnung zu der bekannteren Klassifikation nach den Matrizengruppen ist wie folgt: Typ I ist die kommutative Algebra, Typ II ist die Heisenberg-Gruppe, Typ III ist das Produkt der 1-dimensionalen und der nichttrivialen 2-dimensionalen Lie-Algebra, …, Typ VIII ist die Lorentz-Gruppe in zwei Raum-Dimensionen SO(2, 1), und Typ IX ist die räumliche Drehgruppe SO(3).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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