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Lexikon der Mathematik: Lienardsche Differentialgleichung

nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form

\begin{eqnarray}{x}^{^{\prime\prime} }+g(x){x}^{^{\prime} }+x=0.\end{eqnarray}

Sie ist eine Verallgemeinerung der van der Polschen Differentialgleichung und beschreibt die Bewegung eines Systems mit einem Freiheitsgrad mit linearer Rückstellkraft und nichtlinearer Reibung. Anstelle von (1) kann man auch das Differentialgleichungssystem

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{x}^{^{\prime} }=y, & {y}^{^{\prime} }=-x-g(x)y\end{array}\end{eqnarray}

betrachten. Ein stabiler Grenzzykel in der (x, y)-Ebene ist dann äquivalent zu einem Eigenschwingungsvorgang bei (1).

Von großem Interesse ist es, möglichst allgemeine Bedingungen zu finden, für die Lösungen existieren, die eindeutig, stabil und periodisch sind. Deshalb wird auch oft die verallgemeinerte Lienardsche Differentialgleichung

\begin{eqnarray}{x}^{^{\prime\prime} }+g(x){x}^{^{\prime} }+u(x)x=0\end{eqnarray}

betrachtet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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