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Lexikon der Mathematik: Lösungsverifikation bei partiellen Differentialgleichungen

in der Intervallrechnung der Nachweis der Existenz einer Lösung einer partiellen Differentialgleichung mit zusätzlichen Bedingungen (Anfangsbedingung, Randbedingung), meist verbunden mit einer Eindeutigkeitsuntersuchung und einer Einschließung der Lösung.

Untersucht wurde bisher unter anderem das elliptische Randwertproblem \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}-{\rm{\Delta }}u+F(x,u,\nabla u)=0\,\text{in}\,{\rm{\Omega }}\text{,}\,\,\ \ u=\text{0}\,\,\text{auf}\,\,\partial {\rm{\Omega }}.\,\end{array}\end{eqnarray}

Dabei ist Ω ⊆ ℝn, n ∈ {2, 3}, ein beschränktes Gebiet, dessen Rand ∂Ω mindestens Lipschitzstetig ist. Die Funktion \(F:\,\bar{{\rm{\Omega }}}\times {\mathbb{R}}\times {{\mathbb{R}}}^{n}\to {\mathbb{R}}\) genügt für jedes α > 0 der Abschätzung \begin{eqnarray}|F(x,y,z)|\le C{(1+\Vert z\Vert )}_{2}^{2}\end{eqnarray} mit geeignetem C ≥ 0 und \(x\,\in \,\bar{{\rm{\Omega }}}\), y ∈ ℝ, |y| ≤ α, z = (zi) ∈ ℝn. Außerdem wird F zusammen mit den partiellen Ableitungen Fy, Fz als stetig vorausgesetzt.

Unter zusätzlichen Annahmen an Ω und mit einer geeigneten Näherung ω für eine Lösung von (1) wird versucht, eine abgeschlossene beschränkte konvexe Funktionenmenge V in einem geeigneten Banachraum X zu konstruieren, welche die Inklusion \begin{eqnarray}{L}^{-1}[-\delta [\omega ]+\varphi (V)]\subseteq V\end{eqnarray} erfüllt. Dabei ist \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}L(u) & = & -{\rm{\Delta }}u+b\cdot \nabla u+cu,\\ & & b={F}_{z}(\cdot,\omega,\nabla \omega ),\,\,\,c={F}_{y}(\cdot,\omega,\nabla \omega ),\\ \delta [\omega ] & = & -{\rm{\Delta }}\omega +F(\cdot,\omega,\nabla \omega ),\\ \varphi (v) & = & -\{F(\cdot,\omega +v,\nabla \omega +\nabla v)-F(\cdot,\omega,\nabla \omega )\\ & & -b.\nabla v-cv\}.\end{array}\end{eqnarray}

Der Schaudersche Fixpunktsatz garantiert dann die Existenz einer Funktion v* ∈ V so, daß \begin{eqnarray}{u}^{* }=\omega +{v}^{* }\end{eqnarray} eine Lösung von (1) ist. Bei der Konstruktion von V kommt die Intervallrechnung zum Einsatz.

[1] Herzberger, J. (ed.): Topics in Validated Computations. North-Holland Amsterdam, 1994.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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