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Lexikon der Mathematik: Lösungsverifikation bei Randwertproblemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen

in der Intervallrechnung der Nachweis der Existenz einer Lösung des Randwertproblems \begin{eqnarray}{y}^{\prime}=f(x,y),\,\,\,r(y(a),y(b))=0,\,\,a\lt b,\end{eqnarray} verbunden mit einer Einschließung zumindest auf einem Gitter a = x0 < x1 < … < xe = b.

Die Funktionen f : Dx × Dy ⊆ ℝ × ℝn → ℝn und r : Dy × Dy → ℝn werden in der Regel als hinreichend glatt vorausgesetzt; das Gitter wird meist adaptiv bestimmt, d. h. im Verlauf der Rechnung in Abhängigkeit von der lokalen Situation.

Als Verfahren bietet sich ein Intervall-Analogon des Schießverfahrens an, bei dem versucht wird, eine Nullstelle der Funktion F(s) = r(s, y(b, s)) wie bei der Lösungsverifikation bei nichtlinearen Gleichungssystemen nachzuweisen. Dabei spielt s die Rolle einer Anfangssteigung, für die y(x, s) Lösung des Anfangswertproblems y′ = f(x, y), y(a) = s ist.

Beim Nullstellennachweis wird s durch einen geeigneten Intervallvektor s ersetzt, und y(b, s) durch eine Intervalleinschließung y(b, s), die man mit Mitteln der Lösungsverifikation bei Anfangswertproblemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen gewinnen kann.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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