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Lexikon der Mathematik: Lokalisationsprinzip

von Riemann gefundenes Prinzip, nach dem Konvergenz und Wert (bzw. Divergenz) der Fourier-Reihe einer Funktion f : ℝ ↠ ℂ bei x0 ∈ ℝ nur von dem Verhalten von f in einer beliebig kleinen Umgebung von x0 abhängen.

Seien f, g 2π-periodisch und über [0, 2π] Lebesgue- oder Riemann-integrierbar. Es bezeichne \begin{eqnarray}{s}_{n}f(x)=\displaystyle \sum _{|k|\le n}{c}_{k}{e}^{ikx}\end{eqnarray} (entsprechend sng(x)) die n-te Partialsumme der Fourier-Reihe von f (bzw. g). Für ein x0 ∈ ℝ und δ > 0 sei zusätzlich \begin{eqnarray}\xi :(-\delta,\delta )\twoheadrightarrow {\mathbb{C}},\,\,\,\,\,\xi (y)=\frac{f(y)-g(y)}{y-{x}_{0}}\end{eqnarray} integrierbar. Dann folgt \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }({s}_{n}f({x}_{0})-{s}_{n}g({x}_{0}))=0.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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