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Lexikon der Mathematik: metrischer Raum

eine Menge M, die mit einer Metrik versehen ist.

Dabei heißt eine Abbildung d : M × M → ℝ eine Metrik, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

(1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

(2) d(x, y) = d(y, x) für alle x, yM (Symmetrie);

(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) für alle x, y, zM (Dreiecksungleichung).

Man bezeichnet d(x, y) als den Abstand der Punkte x und y. Ohne Kenntnisse über die konkrete analytische Gestalt der Abbildung d lassen sich schon aus diesen drei Axiomen Folgerungen ziehen. So gelten zum Beispiel

(4) |d(x, y) − d(y, z)| ≤ d(x, z);

(5) |d(x, y) − d(a, b)| ≤ d(x, a) + d(y, b).

Da es bei der Definition einer Metrik nur auf die Gültigkeit der Axiome (1) bis (3) ankommt, kann man eine Menge auch mit verschiedenen Metriken versehen. Setzt man beispielsweise M = ℝn und gilt x = (x1, …, xn), y = (y1, …, yn), so sind die Abbildungen \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{d}_{1}(x,y) & = & \sqrt{{({x}_{1}-{y}_{1})}^{2}+\cdots+{({x}_{n}-{y}_{n})}^{2},}\\ {d}_{2}(x,y) & = & \mathop{\max }\limits_{i=1,\mathrm{...},n}|{x}_{i}-{y}_{i}|\end{array}\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}{d}_{3}(x,y)=|{x}_{1}-{y}_{1}|+\cdots+|{x}_{n}-{y}_{n}|\end{eqnarray}

Metriken auf M.

Mit Hilfe der bezüglich der Metrik d offenen Kugeln kann man auf einem metrischen Raum eine Topologie einführen. Für x0M und den Radius r > 0 definiert man dabei die offene Kugel \begin{eqnarray}{B}_{r}({x}_{0})=\{x\in M|d(x,{x}_{0})\lt r\}.\end{eqnarray}

Eine Menge UM heißt dann offen bezüglich der metrischen Topologie, wenn es zu jedem xU ein r > 0 so gibt, daß Br(x) ⊆ U ist. Damit wird der metrische Raum zu einem topologischen Hausdorffraum. Es kann dabei vorkommen, daß verschiedene Metriken die gleiche Topologie induzieren; so führen beispielsweise die angegebenen Metriken d1, d2 und d3 zur gleichen Topologie auf ℝn.

Da sich jeder metrische Raum als topologischer Raum auffassen läßt, kann man die üblichen topologischen Begriffe wie Konvergenz, Häufungspunkt, Kompaktheit oder Stetigkeit (Folgenstetigkeit) auch auf metrische Räume übertragen. Die Situation ist allerdings insofern einfacher als in allgemeinen topologischen Räumen, als jeder Punkt xM die abzählbare Umgebungsbasis {B1/n(x) | n ∈ ℕ} besitzt und daher im Gegensatz zu allgemeinen topologischen Räumen die meisten topologischen Begriffe in metrischen Räumen mit Hilfe von Folgen definiert werden können.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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