Methode, um viele Formeln der Vektoranalysis recht einfach zu gewinnen.

Man geht aus von dem Nablaoperator

\begin{eqnarray}\nabla :=(\begin{array}{c}{D}_{1}\\ \vdots \\ {D}_{n}\end{array})\end{eqnarray}

Einen Ausdruck der Form ∇(fg) schreibt man als

\begin{eqnarray}\nabla (\dot{f}g)+\nabla (f\dot{g}).\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}f(\nabla \dot{g})=f\quad \text{grad}\quad g,\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}f\times (\nabla \times \dot{g})=f\times \text{rot}\quad g.\end{eqnarray}

Im folgenden bezeichnen φ, ψ Skalarfelder und f, g Vektorfelder. Beispiele sind (unter naturgemäßen Differenzierbarkeitsvorausssetzungen für die auftretenden Abbildungen):

\begin{eqnarray}\begin{array}{c}\text{grad}(\alpha \varphi +\psi )=\alpha \quad \text{grad}\quad \varphi +\text{grad}\quad \psi \quad\quad (\alpha \in {\mathbb{R}}),\\ \text{grad}\quad \text{(}\varphi \psi \text{)=}\psi \quad \text{grad}\quad \varphi +\varphi \quad \text{grad}\quad \psi ,\\ \text{grad}(f\cdot g)=f\cdot \text{grad}\quad g+g\cdot \text{grad}\quad f+f\times \text{rot}\quad g+g\times \text{rot}\quad f.\end{array}\end{eqnarray}

Beispielsweise ergibt sich die zweite Formel mit dem Nablakalkül wie folgt:

\(\text{grad}(\varphi \psi )=\nabla (\varphi \psi )=\nabla (\dot{\varphi }\psi )+\nabla (\varphi \dot{\psi })=\psi \nabla (\dot{\varphi })+\varphi \nabla (\dot{\psi })=\psi \text{grad}\varphi +\varphi \text{grad}\psi \). Für die letzte der aufgelisteten Formeln setzt man zweckmäßig die Identität für Vektoren im ℝ³

\begin{eqnarray}a\times (b\times c)=b(a\cdot c)-(a\cdot b)c\end{eqnarray}

(Zerlegungsformel) ein.

Weitere Beispiele:

• div(αf + g) = α divf + divg (α ∈ ℝ),
• div(φf) = φ divf + f grad φ,
• div(f × g) = g rot f − f rotg.
• rot(αf + g) = α rot f + rotg (α ∈ ℝ),
• rot(φf) = φ rot f − f × gradφ,
• div rot f = rot grad φ = 0,
• rot rot f = grad divf − Δf.