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Lexikon der Mathematik: Nablakalkül

Methode, um viele Formeln der Vektoranalysis recht einfach zu gewinnen.

Man geht aus von dem Nablaoperator

\begin{eqnarray}\nabla :=(\begin{array}{c}{D}_{1}\\ \vdots \\ {D}_{n}\end{array})\end{eqnarray}

mit den partiellen Ableitungsoperatoren Dv(v = 1, …, n) für ein n ∈ ℕ. Neben der Linearität von ∇ berücksichtigt der Kalkül vor allem, daß ∇ sowohl ein Vektor als auch ein Differentialoperator ist:

Einen Ausdruck der Form ∇(fg) schreibt man als

\begin{eqnarray}\nabla (\dot{f}g)+\nabla (f\dot{g}).\end{eqnarray}

(f und g seien Skalar- oder Vektorfelder derart, daß das Produkt fg erklärt ist.) Der Punkt markiert den Faktor, der differenziert wird. Die rechts stehenden Ausdrücke formt man nach den Regeln der Vektoralgebra so um, daß alle Größen ohne Punkt links von ∇ (und alle mit Punkt rechts von ∇) stehen. Dabei behandelt man ∇ als Vektor. Anschließend läßt man die Punkte wieder weg und übersetzt bei Bedarf zu Ausdrücken mit grad (Gradient), div (Divergenz), rot (Rotation) und Δ (Laplaceoperator), z. B.

\begin{eqnarray}f(\nabla \dot{g})=f\quad \text{grad}\quad g,\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}f\times (\nabla \times \dot{g})=f\times \text{rot}\quad g.\end{eqnarray}

Im folgenden bezeichnen φ, ψ Skalarfelder und f, g Vektorfelder. Beispiele sind (unter naturgemäßen Differenzierbarkeitsvorausssetzungen für die auftretenden Abbildungen):

\begin{eqnarray}\begin{array}{c}\text{grad}(\alpha \varphi +\psi )=\alpha \quad \text{grad}\quad \varphi +\text{grad}\quad \psi \quad\quad (\alpha \in {\mathbb{R}}),\\ \text{grad}\quad \text{(}\varphi \psi \text{)=}\psi \quad \text{grad}\quad \varphi +\varphi \quad \text{grad}\quad \psi ,\\ \text{grad}(f\cdot g)=f\cdot \text{grad}\quad g+g\cdot \text{grad}\quad f+f\times \text{rot}\quad g+g\times \text{rot}\quad f.\end{array}\end{eqnarray}

Beispielsweise ergibt sich die zweite Formel mit dem Nablakalkül wie folgt:

\(\text{grad}(\varphi \psi )=\nabla (\varphi \psi )=\nabla (\dot{\varphi }\psi )+\nabla (\varphi \dot{\psi })=\psi \nabla (\dot{\varphi })+\varphi \nabla (\dot{\psi })=\psi \text{grad}\varphi +\varphi \text{grad}\psi \). Für die letzte der aufgelisteten Formeln setzt man zweckmäßig die Identität für Vektoren im ℝ3

\begin{eqnarray}a\times (b\times c)=b(a\cdot c)-(a\cdot b)c\end{eqnarray}

(Zerlegungsformel) ein.

Weitere Beispiele:

  • div(αf + g) = α divf + divg (α ∈ ℝ),
  • div(φf) = φ divf + f grad φ,
  • div(f × g) = g rot ff rotg.
  • rot(αf + g) = α rot f + rotg (α ∈ ℝ),
  • rot(φf) = φ rot ff × gradφ,
  • div rot f = rot grad φ = 0,
  • rot rot f = grad divf − Δf.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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