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Lexikon der Mathematik: Nablaoperator

auch Hamilton-Operator genannt, ,symbolischer Vektor (Vektoroperator), der häufig zur Darstellung von räumlichen Differentialoperatoren benutzt wird, und dessen Einführung gewisse Berechnungen und Formeln in der Vektoranalysis vereinfacht oder übersichtlicher werden läßt.

In kartesischen Koordinaten gilt speziell

\begin{eqnarray}\nabla :=(\begin{array}{c}{D}_{1}\\ \vdots \\ {D}_{n}\end{array})\end{eqnarray}

mit den partiellen Ableitungsoperatoren Dv, v = 1, … ,n für n ∈ ℕ.

Der Nablaoperator wurde 1847 von W. R. Hamilton eingeführt. Eine Ausstellung syrischer Ausgrabungen im Britischen Museum veranlaßte den englischen Physiker Peter Guthrie Tait, den Operator ∇ Nabla zu nennen. (∇ stilisiert eine Harfe, hebräisch ,nebel‘, von den Syrern mit ,nabla‘ wiedergegeben.)

Mit dem Nablaoperator lassen sich viele Vektordifferentialoperationen bequem notieren: So kann der Gradient grad φ für eine differenzierbare skalarwertige Abbildung φ (,Skalarfeld‘) auch in der formalen Weise ∇φ geschrieben werden. Die Divergenz (Divergenz eines Vektorfeldes) für eine in a differenzierbare Abbildung f : D → ℝn mit D ⊂ ℝn, a innerer Punkt von D und den Koordinatenfunktionen f1,…, fn von f kann in der Form

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=1}^{n}({D}_{v}{f}_{v})(a)=(\nabla f)(a)=(\nabla \cdot f)(a)=\text{tr}\quad {f}^{\text{'}}(a)\end{eqnarray}

notiert werden. Dabei bedeutet ∇ ⋅ f, daß dieser Ausdruck formal wie ein Skalarprodukt ausgerechnet werden soll, und tr bezeichnet die Spur.

Schreibt man im Spezialiall n = 3 die partiellen Ableitungen \(\frac{\partial }{\partial x}\), \(\frac{\partial }{\partial y}\), \(\frac{\partial }{\partial z}\) statt D1, D2, D3, so kann (mit den kanonischen Einheitsvektoren \({{\mathfrak{e}}}_{1}\), \({{\mathfrak{e}}}_{2}\), \({{\mathfrak{e}}}_{3}\) im ℝ3)

\begin{eqnarray}\nabla =\frac{\partial }{\partial x}{{\mathfrak{e}}}_{1}+\frac{\partial }{\partial y}{{\mathfrak{e}}}_{2}+\frac{\partial }{\partial z}{{\mathfrak{e}}}_{3}\end{eqnarray}

notiert werden.

Für differenzierbares

\begin{eqnarray}f=(\begin{array}{c}u\\ v\\ w\end{array})\end{eqnarray}

ist die Rotation rot f, in kartesischen Koordinaten also

\begin{eqnarray}(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z},\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}),\end{eqnarray}

hier in der Form ∇ × f darstellbar.

Das Skalarprodukt ∇2 = ∇ ⋅ ∇ ergibt den Laplace-Operator

\begin{eqnarray}{\rm{\Delta }}=\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}}{\partial {z}^{2}}.\end{eqnarray}

Das routinemäßige Umgehen mit diesem Differentialoperator wird als Nablakalkül bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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